Zależność między rozkładem gamma a chi-kwadrat

15

Jeśli gdzie X iN ( 0 , σ 2 ) , tj. Wszystkie X i są normalnymi losowymi zmiennymi o średniej zerowej z tymi samymi wariancjami, to Y Γ ( N

Y=i=1NXi2
XiN(0,σ2)Xi
YΓ(N2,2σ2).

Znam rozkład chi-kwadrat jest szczególnym przypadkiem rozkładu gamma, ale nie mógł czerpać rozkładu chi-kwadrat dla zmiennej losowej . Proszę o pomoc?Y

kaka
źródło

Odpowiedzi:

17

Trochę tła

Rozkład jest zdefiniowany jako rozkład wynikający ze zsumowania kwadratów n niezależnych zmiennych losowych N ( 0 , 1 ) , więc: Jeśli  X 1 , , X nN ( 0 , 1 )  i są niezależne, to  Y 1 = n i = 1 X 2 iχ 2 n , gdzie X Yχn2nN(0,1)

If X1,,XnN(0,1) and are independent, then Y1=i=1nXi2χn2,
XYoznacza, że ​​zmienne losowe i Y mają ten sam rozkład (EDYCJA: χ 2 n będzie oznaczać zarówno rozkład kwadratowy Chi o n stopniach swobody, jak i zmienną losową o takim rozkładzie ). Teraz pdf rozkładu χ 2 n to f χ 2 ( x ; n ) = 1XYχn2nχn2 Zatem rzeczywiścierozkład χ 2 n jest szczególnym przypadkiem rozkładu Γ ( p , a ) z pdf f Γ ( x ; a , p ) = 1
fχ2(x;n)=12n2Γ(n2)xn21ex2,for x0 (and 0 otherwise).
χn2Γ(p,a) Teraz jest jasne, że χ 2 nΓ ( n
fΓ(x;a,p)=1apΓ(p)xp1exa,for x0 (and 0 otherwise).
.χn2Γ(n2,2)

Twój przypadek

Różnica w twoim przypadku polega na tym, że masz normalne zmienne ze wspólnymi wariancjami σ 21 . Ale w tym przypadku powstaje podobny rozkład: Y 2 = n i = 1 X 2 i = σ 2 n i = 1 ( X iXiσ21

Y2=i=1nXi2=σ2i=1n(Xiσ)2σ2χn2,
Yχn2σ2Y2=σ2Y1
fσ2χ2(x;n)=fχ2(xσ2;n)1σ2.
Y2Γ(n2,2σ2)σ2a

Uwaga

χn2σ21χ12χn2

epsilone
źródło
Y2σ2χn2,Y2=σ2U,Uχn2.fσ2U(x;n)=fχ2(xσ2;n)1σ2.
σ2χn2χn2σ2fχ2(x;n)χn2nσ2χn2fχn2(x;n)n
Xn2i=1NXi2.
Y2Xiσ2XiσXi
3
χn2n