Trochę tła
Rozkład jest zdefiniowany jako rozkład wynikający ze zsumowania kwadratów n niezależnych zmiennych losowych N ( 0 , 1 ) , więc:
Jeśli X 1 , … , X n ∼ N ( 0 , 1 ) i są niezależne, to Y 1 = n ∑ i = 1 X 2 i ∼ χ 2 n ,
gdzie X ∼ Yχ2nnN(0,1)
If X1,…,Xn∼N(0,1) and are independent, then Y1=∑i=1nX2i∼χ2n,
X∼Yoznacza, że zmienne losowe
i
Y mają ten sam rozkład (EDYCJA:
χ 2 n będzie oznaczać zarówno rozkład kwadratowy Chi o n stopniach swobody, jak i zmienną losową o takim rozkładzie ). Teraz pdf rozkładu
χ 2 n to
f χ 2 ( x ; n ) = 1XYχ2nnχ2n
Zatem rzeczywiścierozkład
χ 2 n jest szczególnym przypadkiem rozkładu
Γ ( p , a ) z pdf
f Γ ( x ; a , p ) = 1fχ2(x;n)=12n2Γ(n2)xn2−1e−x2,for x≥0 (and 0 otherwise).
χ2nΓ(p,a)
Teraz jest jasne, że
χ 2 n ∼ Γ ( nfΓ(x;a,p)=1apΓ(p)xp−1e−xa,for x≥0 (and 0 otherwise).
.
χ2n∼Γ(n2,2)
Twój przypadek
Różnica w twoim przypadku polega na tym, że masz normalne zmienne ze wspólnymi wariancjami σ 2 ≠ 1 . Ale w tym przypadku powstaje podobny rozkład:
Y 2 = n ∑ i = 1 X 2 i = σ 2 n ∑ i = 1 ( X iXiσ2≠1
Y2=∑i=1nX2i=σ2∑i=1n(Xiσ)2∼σ2χ2n,
Yχ2nσ2Y2=σ2Y1fσ2χ2(x;n)=fχ2(xσ2;n)1σ2.
Y2∼Γ(n2,2σ2)σ2a
Uwaga
χ2nσ2≠1χ21χ2n