Wielowymiarowa regresja ortogonalna wielomianowa?

Aby zmotywować pytanie, rozważ problem regresonu, w którym staramy się oszacować za pomocą obserwowanych zmiennych $Y$ $\{ a, b \}$

Wykonując wielowymiarową regresję wielomianową, staram się znaleźć optymalne paramitowanie tej funkcji

f (y) = c_{1} a + c_{2} b + c_{3} a^{2} + c_{4} a b + c_{5} b^{2} + \dots

$f(y)=c_{1}a+c_{2}b+c_{3}a^{2}+c_{4}ab+c_{5}b^{2}+\cdots$

które najlepiej pasują do danych w najmniejszym kwadracie.

Problem polega jednak na tym, że parametry nie są niezależne. Czy istnieje sposób przeprowadzenia regresji na innym zestawie wektorów „bazowych”, które są ortogonalne? Takie postępowanie ma wiele oczywistych zalet $c_i$

1) współczynniki nie są już skorelowane. 2) wartości samych $c_i$ nie zależą już od stopnia współczynników. 3) Ma to również zaletę obliczeniową polegającą na tym, że można upuścić warunki wyższego rzędu w celu uzyskania bardziej zgrubnego, ale wciąż dokładnego przybliżenia danych.

Można to łatwo osiągnąć w przypadku pojedynczej zmiennej przy użyciu wielomianów ortogonalnych, przy użyciu dobrze zbadanego zestawu, takiego jak wielomiany Czebyszewa. Nie jest jednak oczywiste (jak dla mnie), jak to uogólnić! Przyszło mi do głowy, że mogę parami wielomianów Chebysheva, ale nie jestem pewien, czy jest to matematycznie poprawna rzecz do zrobienia.

Twoja pomoc jest mile widziana

regression Gabgoh
źródło

Co powiesz na podstawę produktu tensorowego twoich jednowymiarowych wielomianów? To brzmi jak to, o czym mówiłeś, i będą one ortogonalne.

kardynał

Myślę, że to satysfakcjonująca odpowiedź jako pytanie :)

gabgoh

Dostałeś się z tym gdzieś? Szukam również rozwiązania regresji wielowymiarowej z wykorzystaniem wielomianów ortogonalnych. Dziękuję

Zakłopotany

Odpowiedzi:

Ze względu na ukończenie (i aby poprawić statystyki tej witryny, ha) muszę się zastanawiać, czy ten artykuł nie odpowiedziałby również na twoje pytanie?

ABSTRAKCYJNY: Omawiamy wybór podstawy wielomianu do aproksymacji propagacji niepewności poprzez złożone modele symulacyjne z możliwością generowania pochodnych informacji. Nasza praca jest częścią większego wysiłku badawczego w zakresie kwantyfikacji niepewności przy użyciu metod próbkowania wzbogaconych o informacje pochodne. Podejście to ma nowe wyzwania w porównaniu ze standardową regresją wielomianową. W szczególności pokazujemy, że wielowymiarowa ortogonalna wielomianowa podstawa iloczynu tensorowego o dowolnym stopniu nie może być już konstruowana. Zapewniamy wystarczające warunki dla istnienia tego typu zestawu ortonormalnego, stanowiącego podstawę przestrzeni, którą obejmuje. Wykazujemy korzyści wynikające z propagowania niepewności materiałowych poprzez uproszczony model transportu ciepła w rdzeniu reaktora jądrowego. W porównaniu z wielomianem Hermite iloczynu tensorowego,

W przeciwnym razie podstawa iloczyn-tensor jednowymiarowych wielomianów jest nie tylko odpowiednią techniką, ale także jedyną, jaką mogę do tego znaleźć.

Aarthi
źródło