Estymator największej wiarygodności dla minimalnych rozkładów wykładniczych

Utknąłem, jak rozwiązać ten problem.

Mamy więc dwie sekwencje zmiennych losowych, i dla . Teraz i są niezależnymi rozkładami wykładniczymi o parametrach i . Jednak zamiast obserwacji i , a nie obserwuje i .$X_i$$Y_i$$i=1,...,n$$X$$Y$$\lambda$$\mu$$X$$Y$$Z$$W$

$Z=\min(X_i,Y_i)$ i $W=1$ jeśli $Z_i=X_i$ i 0, jeśli $Z_i=Y_i$ . I znaleźć Zamknięty formy dla estymatorów największej wiarygodności z $\lambda$ i $\mu$ na podstawie $Z$ i $W$ . Ponadto musimy wykazać, że są to globalne maksima.

Teraz wiem, że minimum dwa niezależne wykładnicze są same w sobie wykładnicze, a współczynnik jest równy sumie wskaźników, więc wiemy, że $Z$ jest wykładnicze z parametrem $\lambda+\mu$ . Zatem naszym oszacowaniem maksymalnego prawdopodobieństwa jest: $\hat{\lambda}+\hat{\mu}=\bar{Z}$ .

Ale utknąłem z tym, dokąd pójść. Wiem, że $W$ jest rozkładem Bernoulliego z parametrem $p=P(Z_i=X_i)$ , ale nie wiem, jak przejść do przekształcenia tego w stwierdzenie dotyczące jednego z parametrów. Na przykład, co oszacowałby MLE $\bar{W}$ pod względem $\lambda$ i / lub $\mu$ ? Rozumiem, że jeśli $Z_i=X_i$ , to $\mu=0$ , ale mam trudności z wymyśleniem, jak wymyślić jakieś zdanie algebraiczne, tutaj.

UPDATE 1: Tak mi powiedziano w komentarzach do uzyskania prawdopodobieństwo na wspólną dystrybucję $Z$ i $W$ .

Więc gdzie . Poprawny? W tym przypadku nie wiem, jak inaczej uzyskać wspólną dystrybucję, ponieważ i nie są niezależne.$f(Z,W)=f(Z|W=1)\cdot p+f(Z|W=0)\cdot (1-p)$$p=P(Z_i=X_i)$$Z$$W$

To daje nam, , zgodnie z definicją powyżej. Ale co teraz? Nigdzie mnie to nie prowadzi. Jeśli przejdę przez etapy obliczania prawdopodobieństwa, otrzymam: (używając i jako wielkości próbek dla każdej części mieszanki ...)$f(Z_i,W_i)=p\lambda e^{-\lambda z_i}+(1-p)\mu e^{-\mu z_i}$$W$$m$$n$

$L(\lambda,\mu)=p^m\lambda^m e^{-\lambda \sum{z_i}}+(1-p)^n\mu^n e^{-\mu \sum{z_i}}$

$\log L=m\log p+m\log\lambda-\lambda \sum{z_i}+n\log(1-p)+n\log\mu-\mu \sum{z_i}$

Jeśli wezmę pochodne cząstkowe, to mówi mi, że mój MLE szacuje na i to tylko średnia „s warunkowej . To jest,$\lambda$$\mu$$Z$$W$

$\hat{\lambda}=\frac{\sum{Z_i}}{m}$

$\hat{\mu}=\frac{\sum{Z_i}}{n}$

i

$\hat{p}=\frac{m}{n+m}$

Nie mam wystarczającej liczby punktów do skomentowania, więc napiszę tutaj. Myślę, że problem, który publikujesz, można zobaczyć z perspektywy analizy przeżycia, jeśli weźmiesz pod uwagę następujące kwestie:

$X_i$ : Prawdziwy czas przeżycia,

$Y_i$ : Czas ,

Oba mają rozkład wykładniczy z i niezależnymi. Zatem to obserwowany czas przeżycia, a wskaźnik cenzury.$X$$Y$$Z_i$$W_i$

Jeśli znasz się na analizie przeżycia, uważam, że możesz zacząć od tego momentu.

Uwagi: Dobre źródło: Analiza danych dotyczących przeżycia według DRCox i D.Oakes

Poniżej znajduje się przykład: Zakładając, że pdf rozkładu czasu przeżycia to . Zatem funkcja przeżycia to: . A prawdopodobieństwo dziennika jest następujące:$f(t)=\rho e^{-\rho t}$$S(t)=e^{-\rho t}$

$\mathcal{l}= \sum_u \log f(z_i) + \sum_c \log S(z_i)$

z sumowaniem odpowiednio nad ludźmi nieocenzurowanymi ( ) i cenzurowanymi ( ).$u$$c$

Z uwagi na fakt, że gdzie h (t) jest funkcją zagrożenia, można to zapisać:$f(t)=h(t)S(t)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log h(z_i) + \sum \log S(z_i)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log \rho - \rho \sum z_i$

A estymator największego prawdopodobieństwa z wynosi:$\hat{\rho}$$\rho$

$\hat{\rho}=d/\sum z_i$ gdzie jest całkowitą liczbą przypadków$d$$W_i=1$