Czy jest zamkniętym zestawem konwencji w testowaniu hipotez?

W testowaniu hipotez statystycznych hipoteza zerowa często przyjmuje postać (przynajmniej w książkach, które przeczytałem): lub $H_0$

Czy to tylko konwencja, że ​​zestawy w są zamknięte? Czy są jakieś inne powody?$H_0$

Jeśli przez „otwarte / zamknięte” rozumiesz vs , oznacza to, że jest w ciągłej domenie, nie robi to różnicy. Rozważ ciągły plik pdf zdefiniowany w domenie od do . Całka powyżej będzie równa całce ponad ponieważ całka powyżej jednego punktu wynosi zero, więc wykluczenie jakiegokolwiek policzalnego zestawu punktów z całki nie zmieni w ogóle jej wartości.$[a,b]$$(a,b)$$a$$b$$[a,b]$$(a,b)$

Przejdźmy teraz do pewnej filozofii: generalnie nasza hipoteza zerowa jest albo twierdzeniem, że niektóre parametry populacji są takie same w różnych terapiach, lub że parametry mieszczą się w określonej tolerancji między sobą. Ponieważ ustalamy tę tolerancję, sensowne jest zdefiniowanie jej za pomocą zamkniętego zestawu, w którym zestaw jest zamknięty do maksymalnej tolerancji, np. gdzie określa maksymalną dopuszczalną tolerancję. Ponieważ parametryzujemy naszą hipotezę w odniesieniu do maksymalnej dopuszczalnej tolerancji, warto tutaj zastosować notację zamkniętą. Ale, jak opisano powyżej, ta hipoteza jest funkcjonalnie równoważna , ale interpretacja jest teraz trochę dziwniejsza:$H_0: \theta \le \theta_0$$\theta_0$$H_0: \theta \lt \theta_0$$\theta_0$teraz oznacza minimalną wartość odrzucenia parametru, więc dopuszczalna tolerancja jest nieskończenie bliska, ale nie równa . Myślę, że zgodzisz się, że generalnie bardziej sensowne dla celów interpretacji jest zdefiniowanie hipotezy zerowej w odniesieniu do dopuszczalnego zakresu wartości parametrów.$\theta_0$

Jeśli miałeś na myśli coś innego przez zamknięty vs. otwarty (może miałeś na myśli to w pewnym technicznym sensie topologicznym, którego mi brakowało), proszę rozwinąć sprawę.