Czy istnieją znormalizowane odpowiedniki Skośności i Kurtozy?

Jaki byłby znormalizowany odpowiednik Skośności, który miałby tę samą jednostkę co dane? Podobnie, jaki byłby znormalizowany odpowiednik Kurtozy? W idealnym przypadku funkcje te powinny być liniowe w stosunku do danych, co oznacza, że gdyby wszystkie obserwacje zostały pomnożone przez czynnik n, powstałe znormalizowane skośność i kurtoza byłyby pomnożone przez ten sam czynnik n. Korzyścią z posiadania takich znormalizowanych ekwiwalentów byłaby możliwość nakładania ich na standardowe pole z pudełkiem i wąsami.

skewness kurtosis Ismael Ghalimi
źródło

Co za zabawne pytanie!

Alexis,

Nie jestem pewien, jak pouczające byłoby zilustrowanie ich na wykresach. Ilustrujemy odchylenia standardowe, ponieważ dają one naturalną miarę rozproszenia danych (jeśli są one normalnie rozłożone): 65% obserwacji znajduje się w przedziale. Nie sądzę, aby istniały takie naturalne interpretacje wizualne dla trzeciej i czwartej chwili.

Ben Kuhn,

Co próbujesz pokazać o swoich danych? Jeśli jest to pewne jakościowe zachowanie dystrybucji, czy fabuła skrzypiec może być lepsza? Ale tak, tak czy inaczej, to zabawne pytanie.

Ben Kuhn,

Można poczuć skośność i kurtozę, patrząc na histogram pokazujący rozkład zbioru danych, ale da to bardzo subiektywną percepcję tych miar. Chciałbym je przedstawić w dwóch skalach liniowych, jednej dla skośności równoległej do osi wykresu pudełkowego i wąsów, drugiej dla niej prostopadłej. Można to przedstawić jako osobne pole nałożone na pole podstawowe. Im wyższe pole, tym bardziej wypaczone są dane. Im szerszy, tym bardziej spiczasty (wysoka kurtoza).

Ismael Ghalimi,

I dzięki za link do fabuły altówki. To naprawdę sprytne.

Ismael Ghalimi,

Odpowiedzi:

Miary skośności są celowo bezjednostkowe .

Zwykła skośność momentu jest znormalizowanym trzecim momentem, $E[(\frac{X-\mu}{\sigma})^3]$ .

Jeśli wyśrodkowujesz, ale nie ustandaryzujesz, masz $\mu_3=E[(X-\mu)^3]$ ... który jest wyraźnie w jednostkach sześciennych .

Jeśli chcesz coś w tych samych jednostkach co $X$ , musisz wziąć pierwiastek sześcienny, w ten sam sposób, w jaki weźmiemy pierwiastek kwadratowy wariancji i uzyskamy coś w tych samych jednostkach oryginalnych danych. (Jednak - uważaj, ponieważ wiele pakietów nie bierze pierwiastków z liczb ujemnych, być może będziesz musiał obliczyć to jako: $\quad\text{sign}(X-\mu)\times |E(X-\mu)^3|^{1/3}\:$ .)

Nie jestem pewien, czy to będzie przydatne.

W przypadku niektórych innych miar skośności, takich jak dwie miary skośności Pearsona, wystarczy pomnożyć przez $\sigma$ .

Dla miar skosu próbki gdzie $\sigma$ i $\mu$ są ogólnie nieznane, ponieważ przy skośności próbki zwykle zastępuje się je własnymi szacunkami próbki.

Kurtosis ma ten sam wzorzec - na moment kurtosis trzeba wziąć czwarte korzenie niestandardowego czwartego momentu, aby uzyskać coś, co skaluje się z danymi.

W przypadku niektórych innych mierników kurtozy wystarczy je pomnożyć $\sigma$ .

Glen_b - Przywróć Monikę
źródło

Skośność i kurtoza to cechy kształtu. Więc jeśli powiem ci, że przedmiot, piłka, jest okrągła, nie powinno mieć znaczenia, jaki jest promień tego przedmiotu. Może to być mała lub duża piłka . Z drugiej strony, kiedy mówię małą kulkę lub dużą kostkę, mam na myśli rozmiar przedmiotu, a nie kształt.

Pod tym względem odchylenie standardowe jest rozmiarem rozkładu, dlatego skośność i kurtoza są znormalizowane według wielkości. Można również powiedzieć, że odchylenie standardowe należy do mechaniki, a skośność i kurtoza do geometrii. Dlatego nie musimy mieć ich w jednostkach miary zmiennej. Rozmiar i kształt są osobne. Duża i mała kula są jednakowo okrągłe , tzn. Rozmiar nie ma znaczenia w tym przypadku :)

Aksakal
źródło

Oznaczanie wektorów dystrybuowanych w regionie $R$ , załóżmy, że zero i pierwsza chwila jest już znormalizowana. Drugi moment jest obliczany za pomocą $M_2 = \int_R {x x^T} |dx|$ , więc jeśli uda nam się znaleźć diagonalizację $M_2 = P\Lambda^2 P^T$ , wtedy będziemy mogli zdefiniować

x^{'} = Λ^{- 1} {P.}^{T.} x

$x'=\Lambda^{-1} P^Tx$ po to aby

M_{2}

$M_2$ jest znormalizowany:

{M.}_{2) ja jot}^{'} = \int_{R} (Λ^{- 1} {P.}^{T.} x) (Λ^{- 1} {P.}^{T.} x)^{T.} | re x |

$M'_{2ij} = \int_R {(\Lambda^{-1}P^T x)(\Lambda^{-1} P^T x)^T} |dx|$

= Λ^{- 1} {P.}^{T.} (\int_{R} x x^{T.} | re x |) P. Λ^{- 1}

$= \Lambda^{-1} P^T (\int_R { xx^T |dx|}) P \Lambda^{-1}$

= Λ^{- 1} {P.}^{T.} P. Λ^{2)} {P.}^{T.} P. Λ^{- 1} = ja

$= \Lambda^{-1} P^T P \Lambda^2 P^T P \Lambda^{-1} = I$

Geometryczne znaczenie drugiego momentu to „orientacja”, co jest uzasadnione faktem, że diagonalizacja normalizuje drugi moment. Kiedy skośność jest obliczana zgodnie z tą normalizacją, nazywa się to skośnością Mardii .

Han JaeSeung StudentOfKyoto
źródło