Jakie są parametry tylnej części Wishart-Wishart?

12

Podczas wnioskowania o macierzy dokładności Λ rozkładu normalnego używanego do generowania N wektorów D-wymiarowych x1,..,xN

xiN(μ,Λ1)
zwykle umieszczamy Wishart przed Λ ponieważ rozkład Wishart jest koniugatem przed wykluczenie wielowymiarowego rozkładu normalnego ze znaną średnią i nieznaną wariancją:
ΛW(υ,Λ0)
gdzie υstopnie swobody i Λ0macierz skali . Aby dodać solidności i elastyczności do modelu, stawiamy hiperpriorytet nad parametrami Wishart. Na przykład Görür i Rasmussen sugerują:
Λ0W(D,1DΛx)1υD+1G(1,1D)
gdzie G jest rozkładem gamma.

Pytanie:

w celu pobrania próbki tylnej Λ0

p(Λ0|X,Λ,υ,D,Λx)W(Λ|υ,Λ0)W(Λ0|D,1DΛx)

jaka jest rodzina i parametry tego tylnego?

PS:

Porzucając wszystkie czynniki, które nie zależą od Λ0 i identyfikując parametry za pomocą parametrów Wihsart, otrzymuję Wishart z parametrami:

υ=υ+DΛ=Λ+Λx

co wygląda całkiem nieźle, ale nie jestem wcale pewien, ponieważ nie znalazłem żadnego przykładu ani w książkach, ani w Internecie.

Erratum :

Görur i Rasmussen sugerują nadciśnienie nad parametrami Wishart, ale to równanie:

ΛW(υ,Λ0)

zamiast tego powinno być:

ΛW(υ,Λ01)

rozwiązując w ten sposób brak koniugacji. Jeśli chcemy zachować , powinniśmy wcześniej użyć Inverse Wishart (patrz odpowiedź @ )Λ0

Alberto
źródło

Odpowiedzi:

5

Iloczyn dwóch gęstości w prowadzi do

p(Λ0|X,Λ,υ,D,Λx)W(Λ|υ,Λ0)W(Λ0|D,1DΛx)
p(Λ0|X,Λ,υ,D,Λx)|Λ0|υ/2exp{tr(Λ01Λ)/2}×|Λ0|(Dp1)/2exp{Dtr(Λx1Λ0)/2}|Λ0|(Dυp1)/2exp{tr(Λ01Λ+DΛx1Λ0)/2},

która nie wydaje się być standardową gęstością. Aby zachować rodzaj koniugacji, właściwy hierarchiczny poprzedzający powinien być czymś w rodzaju Λ0
Λ0IW(Λ0|D,1DΛx).
Xi'an
źródło
1
Dzięki za podpowiedź @ Xi'an! W rzeczywistości parametrem prawdopodobieństwa powinien być (moja wina, patrz edycja). Właśnie opublikowałem odpowiedź, używając tego i zachowując Wishart * Wishart. Λ01
alberto,
6

Ok, dzięki odpowiedzi @ Xi'an mogłem zrobić całą pochodną. Napiszę to dla ogólnego przypadku: gdzie jest kluczem do sprzężenia. Jeśli chcemy użyć , powinno to być:

W(W|υ,S1)×W(S|υ0,S0)
S1S
W(W|υ,S)×IW(S|υ0,S0)

Robię pierwszy przypadek (popraw mnie, jeśli się mylę):

W(W|υ,S1)×W(S|υ0,S0)|S|υ/2exp{12tr(SW)}×|S|υ0D12exp{12tr(S01S)}|S|υ+υ0D12exp{12tr((W+S01)S)}

gdzie wykorzystaliśmy fakt, że . Po inspekcji widzimy, że jest to dystrybucja Wishart: tr(SW)=tr(WS)

p(S|)=W(υ+υ0,(W+S01)1)

Rozszerzenie rysujeNW1...WN :

W przypadku, gdy mamy precyzyjnych macierzy, prawdopodobieństwo staje się iloczynem prawdopodobieństw i otrzymujemy:NN

p(S|)=W(Nυ+υ0,(i=1NWi+S01)1)
Alberto
źródło