Propagacja błędu za pomocą serii Taylora drugiego rzędu

9

Czytam tekst „Statystyka matematyczna i analiza danych” Johna Rice'a. Zależy nam na przybliżeniu oczekiwanej wartości i wariancji zmiennej losowejY. Jesteśmy w stanie obliczyć oczekiwaną wartość i wariancję zmiennej losowej i znamy zależność . Tak więc możliwe jest przybliżenie oczekiwanej wartości i wariancji za pomocą rozszerzenia serii Taylora około .XY=g(X)YgμX

Na stronie 162 wymienia 3 równania.

  1. Oczekiwana wartość przy zastosowaniu rozszerzenia Taylor 1. rzędu. Jest to: . Jest to określane w dalszej części mojego pytania jako .YμYg(μX)E(Y1)

  2. Wariant przy użyciu rozszerzenia Taylor 1. rzędu. Jest to: . Jest to określane w dalszej części mojego pytania jako .YσY2σX2(g(μX))2Var(Y1)

  3. Oczekiwana wartość przy zastosowaniu rozszerzenia Taylor drugiego rzędu. Jest to . Jest to określane w dalszej części mojego pytania jako E (Y_2) .YμYg(μX)+12σX2g(μX)E(Y2)

Zauważ, że istnieją dwa różne wyrażenia dla Y ponieważ używamy dwóch różnych rzędów w rozszerzeniu serii Taylora. Równania 1 i 2 odnoszą się do Y1=g(X)g(μX)+(XμX)g(μX) . Równanie 3 odnosi się do Y2=g(X)g(μX)+(XμX)g(μX)+12(XμX)2g(μX) .

Zauważ, że konkretnie równanie dla Var(Y2) nie jest podane. Później autor wydaje się używać równania do wariancji Y1 (równanie 2), podczas gdy w rzeczywistości odnosi się do oczekiwanej wartości Y2 (równanie 3). Wydaje się to sugerować Var(Y2)=Var(Y1) .

Próbowałem obliczyć ręcznie i otrzymuję nieco skomplikowane wyrażenie. Oto moja praca (zatrzymałem się, ponieważ na końcu otrzymuję warunki w oczekiwaniu): Var(Y2)X3

Var(Y2)=E[(g(μX)+(XμX)a+12(XμX)2bg(μX)12σX2b)2]=E[((XμX)a+(12(XμX)212σX2)b)2]=E[(ca+(12c212σX2)b)2]=E[c2a2+ca(c2σX2)b+14(c2σX2)2b2]=E[(X22XμX+μX2)a2+(XμX)a((X22XμX+μX2)σX2)b+14((X22XμX+μX2)σX2)2b2]

Zauważ, że w powyższych równaniach , i . Co to jest ?a=g(μX)b=g(μX)c=XμXVar(Y2)

Dzięki.

jrand
źródło
Dlaczego zatrzymałeś się na ? Ponieważ aproksymacja drugiego rzędu jest kwadratową funkcją , jej wariancja będzie generalnie obejmować momenty do . Trzecia chwila może wynosić zero, ale czwarta chwila na pewno się pojawi i niczego nie anuluje. X3XX22=4
whuber

Odpowiedzi:

7

Zakładając, że , możemy obliczyć przybliżoną wariancję za pomocą rozszerzenia Taylora drugiego rzędu o w następujący sposób:Y=g(X)Yg(X)μX=E[X]

Var[Y]=Var[g(X)]Var[g(μX)+g(μX)(XμX)+12g(μX)(XμX)2]=(g(μX))2σX2+14(g(μX))2Var[(XμX)2]+g(μX)g(μX)Cov[XμX,(XμX)2]=(g(μX))2σX2+14(g(μX))2E[(XμX)4σX4]+g(μX)g(μX)(E(X3)3μX(σX2+μX2)+2μX3)=(g(μX))2σX2+14(g(μX))2(E[X4]4μXE[X3]+6μX2(σX2+μX2)3μX4σX4)+g(μX)g(μX)(E(X3)3μX(σX2+μX2)+2μX3)

Jak @whuber zauważył w komentarzach, to może być czyszczone trochę przy użyciu trzeciego i czwartego centralne momenty . Moment centralny jest zdefiniowany jako . Zauważ, że . Korzystając z tej nowej notacji, mamy Xμk=E[(XμX)k]σX2=μ2

Var[Y](g(μX))2σX2+g(μX)g(μX)μ3+14(g(μX))2(μ4σX4)
przyjęty jako normalny
źródło
To właściwe podejście, ale czy nie zapomniałeś uwzględnić kowariancji między a ? XμX(XμX)2
whuber
@ whuber Tak zrobiłem. Dzięki za zwrócenie na to uwagi. Niedługo będę to edytować.
przyjęto, że jest nietypowy
Można zaoszczędzić trochę kłopotów pisząc odpowiedź pod względem drugiego, trzeciego i czwartego centralnych chwilach , i . Powinieneś uzyskać . σ2μ3μ4σ2g(μ)2+μ3g(μ)g(μ)+14(μ4σ4)g(μ)2
whuber
@jrand - Moje przeprosiny. Nie zdawałem sobie sprawy, że masz to w swoim oryginalnym poście. Nie usuwam jednak mojego posta, ponieważ składanie go zajęło trochę czasu.
zakładano, że jest normalny
@ Max, whuber: Dziękuję za odpowiedź i wyjaśnienie.
jrand