Czytam tekst „Statystyka matematyczna i analiza danych” Johna Rice'a. Zależy nam na przybliżeniu oczekiwanej wartości i wariancji zmiennej losowej. Jesteśmy w stanie obliczyć oczekiwaną wartość i wariancję zmiennej losowej i znamy zależność . Tak więc możliwe jest przybliżenie oczekiwanej wartości i wariancji za pomocą rozszerzenia serii Taylora około .
Na stronie 162 wymienia 3 równania.
Oczekiwana wartość przy zastosowaniu rozszerzenia Taylor 1. rzędu. Jest to: . Jest to określane w dalszej części mojego pytania jako .
Wariant przy użyciu rozszerzenia Taylor 1. rzędu. Jest to: . Jest to określane w dalszej części mojego pytania jako .
Oczekiwana wartość przy zastosowaniu rozszerzenia Taylor drugiego rzędu. Jest to . Jest to określane w dalszej części mojego pytania jako E (Y_2) .
Zauważ, że istnieją dwa różne wyrażenia dla ponieważ używamy dwóch różnych rzędów w rozszerzeniu serii Taylora. Równania 1 i 2 odnoszą się do . Równanie 3 odnosi się do .
Zauważ, że konkretnie równanie dla nie jest podane. Później autor wydaje się używać równania do wariancji (równanie 2), podczas gdy w rzeczywistości odnosi się do oczekiwanej wartości (równanie 3). Wydaje się to sugerować .
Próbowałem obliczyć ręcznie i otrzymuję nieco skomplikowane wyrażenie. Oto moja praca (zatrzymałem się, ponieważ na końcu otrzymuję warunki w oczekiwaniu):
Zauważ, że w powyższych równaniach , i . Co to jest ?
Dzięki.
Odpowiedzi:
Zakładając, że , możemy obliczyć przybliżoną wariancję za pomocą rozszerzenia Taylora drugiego rzędu o w następujący sposób:Y=g(X) Y g(X) μX=E[X]
Jak @whuber zauważył w komentarzach, to może być czyszczone trochę przy użyciu trzeciego i czwartego centralne momenty . Moment centralny jest zdefiniowany jako . Zauważ, że . Korzystając z tej nowej notacji, mamyX μk=E[(X−μX)k] σ2X=μ2
źródło