Wystarczalność lub niewystarczalność

10

Rozważ losową próbkę gdzie są zmiennymi losowymi gdzie . Sprawdź, czy jest wystarczającą statystyką dla .{X1,X2,X3}XiBernoulli(p)p∈(0,1)T(X)=X1+2X2+X3p

Po pierwsze, jak możemy znaleźć rozkład dla ? A może powinien być podzielony na a następnie czy będzie to ? Myślę, że nie, ponieważ zauważ, że wszystkie zmienne nie są tutaj niezależne.(X1+2X2+X3)X1+X2+X2+X3Bin(4,p)

Alternatywnie, jeśli zastosuję warunek faktoryzacji, biorąc pod uwagę tylko wspólne pmf z to gdzie .(X1,X2,X3)f(X1,X2,X3)=px1+x2+x3(1−p)3−(x1+x2+x3)=[pt(x)(1−p)3−t(x)]p−x2(1−p)x2t(x)=x1+2x2+x3

To pokazuje, że nie jest wystarczające.T

Ale co jeśli chcę zastosować się do definicji i zastosować aby sprawdzić, czy ten stosunek jest niezależny od ? Następnie muszę znać rozkład . Czym zatem jest rozkład ?f(X|p)g(T(X)|p)pgT(X)=X1+2X2+X3

inference point-estimation sufficient-statistics Landon Carter
źródło
1
Wskazówka: Nie musisz znać pełnej dystrybucji . Rozważmy na przykład przypadek : jaki jest warunkowy rozkład prawdopodobieństwa ? T(X)T(X)=2(X|T.(X)=2))
whuber
Jeśli to . Więc który jest zależny od , prawda? T.(X)=2)(X1,X2),X3))∈{(1,0,1),(0,1,0)}P.(X|T.(X)=2))=p2)(1-p)+p(1-p)2)=p(1-p)p
Landon Carter
1
To właściwy pomysł - ale nie rozumiem, dlaczego dodajesz dwa prawdopodobieństwa. Czy nie jest wektorem ? (Jeśli chcesz, możesz użyć tego samego rodzaju obliczeń, aby znaleźć pełny rozkład (może osiągnąć tylko wartości ), ale to już nie jest konieczne, prawda? ))XT.(X)0,1,2),3),4
whuber
Tak, jasne. Dzięki! Więc kiedy pokażemy, że ten stosunek nie jest niezależny od przynajmniej dla próbki, to skończymy! Dziękuję Ci. I SZCZĘŚLIWEGO NOWEGO ROKU :)p
Landon Carter
Tak jest wektorem, ale co ważniejsze a prawdopodobieństwo . Proszę, popraw mnie jeśli się mylę. XX=(X1,X2),X3))P.(X|T.(X)=2))=P.(T.(X)=2))=P.(X=(1,0,1))+P.(X=(0,1,0))
Landon Carter

Odpowiedzi:

11

Miałem dyskusję z „whuber” i może dostałem (poprawną?) Wskazówkę, aby spojrzeć na dowolny przykładowy punkt: ocena w punkcie próbki i sprawdź, czy stosunek ten jest niezależny od parametru, w tym przypadku .P.(X=x)P.(T.(X)=T.(x))xp

Więc weź a następnie . Zatem oceniamy Teraz,Ze względu na właściwość iidRównieżx=(1,0,1)T.(1,0,1)=2)P.(X=(1,0,1))P.(T.(X)=2))

T.(X)=2) iff X∈{(1,0,1),(0,1,0)}.
P.(X=(1,0,1))=p2)(1-p) i P.(X=(0,1,0))=p(1-p)2).
P.(T.(X)=2))=P.(X=(1,0,1))+P.(X=(0,1,0))=p(1-p).

Stąd który jest wyraźnie zależny od , a zatem nie jest wystarczającą statystyką.

P.(X=(1,0,1))P.(T.(X)=2))=p2)(1-p)p(1-p)=p
pT.
Landon Carter
źródło