Oczekiwanie na produkty wyższego rzędu o normalnych rozkładach

Mam dwie normalnie rozmieszczone zmienne i ze średnią zerową i macierzą kowariancji . Jestem zainteresowany próbą obliczenia wartości w kategoriach wpisów .$X_1$$X_2$$\Sigma$$E[X_1^2 X_2^2]$$\Sigma$

Użyłem prawa całkowitego prawdopodobieństwa, aby uzyskać ale nie jestem pewien, do czego sprowadza się wewnętrzne oczekiwanie. Czy jest tu inna metoda?$E[X_1^2 X_2^2] = E[X_1^2 E[X_2^2 | X_1]]$

Dzięki.

Edycja: Zmienne są również normalnie rozmieszczone na wielu odmianach.

Oczekiwanie jest oczywiście proporcjonalne do iloczynu kwadratowych czynników skali . Stałą proporcjonalności uzyskuje się poprzez standaryzację zmiennych, co redukuje do macierzy korelacji za pomocą korelacji .$\sigma_{11}\sigma_{22}$$\Sigma$$\rho = \sigma_{12}/\sqrt{\sigma_{11}\sigma_{22}}$

Zakładając dwuwymiarową normalność, to zgodnie z analizą na https://stats.stackexchange.com/a/71303 możemy zmienić zmienne na

$$X_1 = X,\ X_2 = \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y$$

gdzie ma standardowy (nieskorelowany) dwuwymiarowy Rozkład normalny i potrzebujemy tylko obliczeń$(X,Y)$

$$\mathbb{E}\left(X^2 (\rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y)^2\right) = \mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y)$$

gdzie dokładna wartość stałej nie ma znaczenia. ( jest wartością resztkową po regresji stosunku do .) Korzystanie z jednoznacznych oczekiwań dla standardowego rozkładu normalnego$c$$Y$$X_2$$X_1$

$$\mathbb{E}(X^4)=3,\ \mathbb{E}(X^2) = \mathbb{E}(Y^2)=1,\ \mathbb{E}Y=0$$

i zauważając, że i są niezależnymi wydajnościami$X$$Y$

$$\mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y) = 3\rho^2 + (1-\rho^2) + 0 = 1 + 2\rho^2.$$

Pomnożenie tego przez daje$\sigma_{11}\sigma_{22}$

$$\mathbb{E}(X_1^2 X_2^2) = \sigma_{11}\sigma_{22} + 2\sigma_{12}^2.$$

---

Ta sama metoda ma zastosowanie do znalezienia oczekiwanego dowolnego wielomianu w , ponieważ staje się on wielomianem w i że po spienieniu, jest wielomianem w niezależnym rozkładzie normalnym zmiennych i . Od$(X_1,X_2)$$(X, \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right)Y)$$X$$Y$

$$\mathbb{E}(X^{2k}) = \mathbb{E}(Y^{2k}) = \frac{(2k)!}{k!2^k} = \pi^{-1/2} 2^k\Gamma\left(k+\frac{1}{2}\right)$$

dla całki (przy wszystkich nieparzystych momentach równych zeru przez symetrię) możemy wyprowadzić$k\ge 0$

$$\mathbb{E}(X_1^{2p}X_2^{2q}) = (2q)!2^{-p-q}\sum_{i=0}^q \rho^{2i}(1-\rho^2)^{q-i}\frac{(2p+2i)!}{(2i)! (p+i)! (q-i)!}$$

(przy wszystkich innych oczekiwaniach dotyczących monomialów równych zero). Jest to proporcjonalne do funkcji hipergeometrycznej (prawie z definicji: manipulacje nie są głębokie ani pouczające),

$$\frac{1}{\pi} 2^{p+q} \left(1-\rho ^2\right)^q \Gamma \left(p+\frac{1}{2}\right) \Gamma \left(q+\frac{1}{2}\right) \, _2F_1\left(p+\frac{1}{2},-q;\frac{1}{2};\frac{\rho ^2}{\rho ^2-1}\right).$$

Czas funkcji hipergeometrycznej jest postrzegany jako multiplikatywna poprawka dla niezerowych .$\left(1-\rho ^2\right)^q$$\rho$