Szacunek ML rozkładu wykładniczego (z cenzurowanymi danymi)

W analizie przeżycia zakładasz, że czas przeżycia rv jest rozkładany wykładniczo. Biorąc pod uwagę teraz, że mam „wyniki” iid rv . Tylko część tych wyników jest w rzeczywistości „w pełni zrealizowana”, tzn. Pozostałe obserwacje są nadal „żywe”.$X_i$$x_1,\dots,x_n$$X_i$

Jeśli chciałbym przeprowadzić oszacowanie ML dla parametru częstości rozkładu, jak mogę wykorzystać niezrealizowane obserwacje w spójny / odpowiedni sposób? Uważam, że nadal zawierają przydatne informacje do oszacowania.$\lambda$

Czy ktoś mógłby poprowadzić mnie do literatury na ten temat? Jestem pewien, że istnieje. Mam jednak problem ze znalezieniem dobrych słów kluczowych / wyszukiwanych haseł dla tego tematu.

Nadal możesz oszacować parametry, korzystając bezpośrednio z prawdopodobieństwa. Niech obserwacje będą wynosić z rozkładem wykładniczym o współczynniku i nieznanym. Funkcja gęstości to , funkcja rozkładu skumulowanego i funkcja ogona . Załóżmy, że pierwsze obserwacje są w pełni obserwowane, podczas gdy dla wiemy tylko, że dla niektórych znanych stałych dodatnich$x_1, \dots, x_n$$\lambda>0$$f(x;\lambda)= \lambda e^{-\lambda x}$$F(x;\lambda)=1-e^{-\lambda x}$$G(x;\lambda)=1-F(x;\lambda) = e^{-\lambda x}$$r$$x_{r+1}, \dots, x_n$$x_j > t_j$$t_j$. Jak zawsze, prawdopodobieństwem jest „prawdopodobieństwo zaobserwowanych danych” dla obserwacji cenzurowanych, podane przez , więc pełną funkcją prawdopodobieństwa jest Funkcja loglikelihood staje się wtedy który ma taką samą formę jak prawdopodobieństwo dla zwykłego, w pełni obserwowanego przypadku, z wyjątkiem pierwszego terminu w miejsce . Pisanie dla średniej obserwacji i czasów cenzurowania, estymator maksymalne prawdopodobieństwo staje$P(X_j > t_j) = G(t_j;\lambda)$

$$L(\lambda) = \prod_{i=1}^r f(x_i;\lambda) \cdot \prod_{i=r+1}^n G(t_j;\lambda)$$ $$l(\lambda) = r\log\lambda -\lambda(x_1+\dots+x_r+t_{r+1}+\dots+ t_n)$$ $r\log\lambda$$n\log\lambda$$T$$\lambda$$\hat{\lambda}=\frac{r}{nT}$ , które sam możesz porównać z w pełni zaobserwowanym przypadkiem.

 EDIT   

Aby spróbować odpowiedzieć na pytanie w komentarzach: Jeśli wszystkie obserwacje zostały ocenzurowane, to znaczy, nie czekaliśmy wystarczająco długo, aby zaobserwować jakieś zdarzenie (śmierć), co możemy zrobić? W takim przypadku , więc loglogelihood staje się co oznacza, że ​​w maleje liniowo . Zatem maksimum musi wynosić dla ! Ale zero nie jest prawidłową wartością parametru szybkości ponieważ nie odpowiada żadnemu rozkładowi wykładniczemu. Musimy stwierdzić, że w tym przypadku nie istnieje oszacowanie maksymalnego prawdopodobieństwa! Być może można by spróbować zbudować pewien przedział ufności dla$r=0$

$$l(\lambda) = -nT \lambda$$ $\lambda$$\lambda=0$$\lambda$$\lambda$w oparciu o tę funkcję wiarygodności? W tym celu spójrz poniżej.

Ale w każdym razie prawdziwy wniosek z danych w tym przypadku jest taki, że powinniśmy czekać więcej czasu, aż otrzymamy jakieś zdarzenia ...

Oto, w jaki sposób możemy skonstruować (jednostronny) przedział ufności dla na wypadek, gdyby wszystkie obserwacje zostały ocenzurowane. Funkcja prawdopodobieństwa w tym przypadku to , która ma taką samą formę jak funkcja prawdopodobieństwa z eksperymentu dwumianowego, w którym osiągnęliśmy wszystkie sukcesy, czyli (patrz także Przedział ufności wokół dwumianowego oszacowania 0 lub 1 ). W takim przypadku chcemy jednostronnego przedziału ufności dla w postaci . Następnie otrzymujemy przedział dla rozwiązując .$\lambda$$e^{-\lambda n T}$$p^n$$p$$[\underset{\bar{}}{p}, 1]$$\lambda$$\log p = -\lambda T$

Otrzymujemy przedział ufności dla , rozwiązując tak, że . Daje to ostatecznie przedział ufności dla : $p$

$$P(X=n) = p^n \ge 0.95 ~~~~\text{(say)}$$ $n\log p \ge \log 0.95$$\lambda$ $$\lambda \le \frac{-\log 0.95}{n T}.$$