Dystrybucja opisująca różnicę między ujemnymi zmiennymi dwumianowymi rozproszonymi?

18

Skellam Dystrybucja opisuje różnicę pomiędzy dwiema zmiennymi, które mają rozkład Poissona. Czy istnieje podobny rozkład opisujący różnicę między zmiennymi występującymi po ujemnych rozkładach dwumianowych?

Moje dane są wytwarzane w procesie Poissona, ale zawierają sporo hałasu, co prowadzi do nadmiernej dyspersji w dystrybucji. Dlatego modelowanie danych z ujemnym rozkładem dwumianowym (NB) działa dobrze. Jeśli chcę modelować różnicę między dwoma zestawami danych NB, jakie mam opcje? Jeśli to pomoże, załóż podobne środki i wariancję dla dwóch zestawów.

chrisamiller
źródło
Istnieje wiele łatwych do opisania dystrybucji, które nie mają standardowych nazw.
Glen_b

Odpowiedzi:

22

Nie znam nazwy tego rozkładu, ale możesz po prostu wywodzić go z prawa całkowitego prawdopodobieństwa. Załóżmy , że każdy ma ujemne rozkłady dwumianowe z parametrami odpowiednio ( r 1 , p 1 ) i ( r 2 , p 2 ) . Ja pomocą parametryzacji w którym X , Y reprezentuje liczbę sukcesów przed R 1 ', H, a R 2 -tym awarii, odpowiednio. Następnie,X,Y(r1,p1)(r2,p2)X,Yr1r2

P.(X-Y=k)=miY(P.(X-Y=k))=miY(P.(X=k+Y))=y=0P.(Y=y)P.(X=k+y)

Wiemy

P(X=k+y)=(k+y+r1-1k+y)(1-p1)r1p1k+y

i

P(Y=y)=(y+r2)-1y)(1-p2))r2)p2)y

więc

P(XY=k)=y=0(y+r21y)(1p2)r2p2y(k+y+r11k+y)(1p1)r1p1k+y

That's not pretty (yikes!). The only simplification I see right off is

p1k(1p1)r1(1p2)r2y=0(p1p2)y(y+r21y)(k+y+r11k+y)

which is still pretty ugly. I'm not sure if this is helpful but this can also be re-written as

p1k(1p1)r1(1p2)r2(r11)!(r21)!y=0(p1p2)y(y+r21)!(k+y+r11)!y!(k+y)!

I'm not sure if there is a simplified expression for this sum but it could be approximated numerically if you only need it to calculate p-values

I verified with simulation that the above calculation is correct. Here is a crude R function to calculate this mass function and carry out a few simulations

  f = function(k,r1,r2,p1,p2,UB)  
  {

  S=0
  const = (p1^k) * ((1-p1)^r1) * ((1-p2)^r2)
  const = const/( factorial(r1-1) * factorial(r2-1) ) 

  for(y in 0:UB)
  {
     iy = ((p1*p2)^y) * factorial(y+r2-1)*factorial(k+y+r1-1)
     iy = iy/( factorial(y)*factorial(y+k) )
     S = S + iy
  }

  return(S*const)
  }

 ### Sims
 r1 = 6; r2 = 4; 
 p1 = .7; p2 = .53; 
 X = rnbinom(1e5,r1,p1)
 Y = rnbinom(1e5,r2,p2)
 mean( (X-Y) == 2 ) 
 [1] 0.08508
 f(2,r1,r2,1-p1,1-p2,20)
 [1] 0.08509068
 mean( (X-Y) == 1 ) 
 [1] 0.11581
 f(1,r1,r2,1-p1,1-p2,20)
 [1] 0.1162279
 mean( (X-Y) == 0 ) 
 [1] 0.13888
 f(0,r1,r2,1-p1,1-p2,20)
 [1] 0.1363209

I've found the sum converges very quickly for all of the values I tried, so setting UB higher than 10 or so is not necessary. Note that R's built in rnbinom function parameterizes the negative binomial in terms of the number of failures before the r'th success, in which case you'd need to replace all of the p1,p2's in the above formulas with 1p1,1p2 for compatibility.

Macro
źródło
Thanks. I'll need some time to digest this, but your help is much appreciated.
chrisamiller
-2

Yes. skewed generalized discrete Laplace distribution is the difference of two negative binomial distributed random variables. For more clarifications refer the online available article "skewed generalized discrete Laplace distribution" by seetha Lekshmi.V. and simi sebastian

simi sebastian
źródło
4
Can you provide a complete citation & a summary of the information in the paper so future readers can decide if it's something they want to pursue?
gung - Reinstate Monica
The article mentioned by @simi-sebastian (the author?) is ijmsi.org/Papers/Volume.2.Issue.3/K0230950102.pdf. However, unless I'm mistaken, it only addresses the case of the Negative Binomial variables X and Y both having the same dispersion parameter, rather than the more general case described by the original poster.
Constantinos