Niech X, Y i Z będą trzema niezależnymi zmiennymi losowymi. Jeśli X / Y ma taki sam rozkład jak Z, to czy prawdą jest, że X ma taki sam rozkład jak YZ?
probability
ratio
użytkownik2808118
źródło
źródło
Odpowiedzi:
To może się zdarzyć. Na przykład, jeśli , i są niezależnymi zmiennymi Rademachera , tzn. Mogą być równe 1 lub -1 z jednakowym prawdopodobieństwem. W tym przypadku jest Rademacher, więc ten sam rozkład, jak , a jest Rademacher więc ten sam rozkład, jak .X Y Z X/Y Z YZ X
Ale ogólnie tak się nie stanie. Tak długo, jak istnieją środki, konieczne (ale niewystarczające) warunki dla aby mieć taki sam rozkład jak , i dla aby mieć taki sam rozkład jak , to:X/Y Z YZ X
Drugie równości, po których następuje niezależność. Podstawienie daje:
Jeśli to lub równoważnie, o ile ,E(Z)≠0 1=E(Y)E(Y−1) E(Y)≠0
Zasadniczo nie jest to prawdą. Na przykład, niech będzie przetłumaczoną zmienną Bernouilli , która przyjmuje wartości lub z jednakowym prawdopodobieństwem, więc . Wtedy przyjmuje wartości lub z jednakowym prawdopodobieństwem, więc . (Pozostawiam to wyobraźni czytelnika, jak dramatyczny efekt musiałby zastosować nieprzetłumaczonyY 1 2 E(Y)=1.5 Y−1 1 0.5 E(Y−1)=0.75≠1.5−1 Zmienna Bernouilli, lub jedna przetłumaczona tylko nieznacznie, więc jest bardzo bliska 0 z prawdopodobieństwem połowy. Zauważ, że w przykładzie Rademacher nie było tutaj problemu, ponieważ wszystkie trzy oczekiwania były zerowe, zauważ też, że ten warunek nie jest wystarczający.)
Możemy zbadać, w jaki sposób to zawodzi, konstruując bardziej wyraźny kontrprzykład. Dla uproszczenia załóżmy, że jest skalowanym Bernouilli i przyjmuje wartości lub z jednakowym prawdopodobieństwem. Wtedy wynosi , , lub z jednakowym prawdopodobieństwem. Oczywiste jest, że , i . Niech będzie zmienną niezależną pochodzącą z tego samego rozkładu. Jaki jest rozkład ? Czy to to samo, co rozkładY X 0 2 X/Y 0/1 0/2 2/1 2/2 P(X/Y=0)=12 P(X/Y=1)=14 P(X/Y=2)=14 Z YZ X ? Nie musimy nawet opracowywać pełnego rozkładu prawdopodobieństwa, aby przekonać się, że nie może być; wystarczy pamiętać, że może wynosić tylko zero lub dwa, podczas gdy może przyjąć dowolną wartość uzyskaną z pomnożenia jednego z przez jeden z .X YZ {1,2} {0,1,2}
Jeśli chcesz uzyskać morał w tej opowieści, spróbuj pobawić się skalowanymi i przetłumaczonymi zmiennymi Bernouilli (w tym zmiennymi Rademacher). Mogą być prostym sposobem na konstruowanie przykładów - i kontrprzykładów. Pomaga mieć mniej wartości w podporach, dzięki czemu rozkłady różnych funkcji zmiennych mogą być łatwo opracowane ręcznie.
Jeszcze bardziej ekstremalnie możemy rozważyć zdegenerowane zmienne, które mają tylko jedną wartość w ich obsłudze. Jeżeli i są zdegenerowane (z ), a następnie będzie zbyt i dlatego rozkład pasuje wartość . Podobnie jak w moim przykładzie Rademacher, taka sytuacja pokazuje, że twoje warunki mogą być spełnione. Jeśli zamiast tego, jak sugeruje @whuber w komentarzach, pozwalamy zdegenerować się z , ale pozwalamy zmieniać, to zbudowanie jeszcze prostszego kontrprzykładu jest bardzo łatwe. Jeśli może przyjąć dwie skończone, niezerowe wartości - iX Y Y≠0 Z=X/Y YZ Z X P(X=1) Y Y a b , powiedzmy - z prawdopodobieństwem dodatnim, następnie , a zatem , mogą przyjmować wartości i . Teraz ma zatem po jej stronie, więc nie można wykonać z takiego samego rozkładu jak . Jest to podobne, ale prostsze niż mój argument, że podpory nie mogą się zgadzać w moim oryginalnym kontrprzykładzie.X/Y Z a−1 b−1 YZ ab−1≠1 X
źródło