Pomóż mi zrozumieć skorygowany iloraz szans w regresji logistycznej

Z trudem próbuję zrozumieć zastosowanie regresji logistycznej w pracy. Artykuł dostępny tutaj wykorzystuje regresję logistyczną do przewidywania prawdopodobieństwa powikłań podczas operacji zaćmy.

To, co mnie dezorientuje, to fakt, że artykuł przedstawia model, który przypisuje iloraz szans 1 do linii bazowej opisanej następująco:

Pacjenta, którego profil ryzyka był w grupie odniesienia dla wszystkich wskaźników ryzyka (tj. Skorygowany OR = 1,00 dla wszystkich w tabeli 1), można uznać za posiadający „wyjściowy profil ryzyka”, a model regresji logistycznej wskazuje „przewidywane prawdopodobieństwo wyjściowe” dla PCR lub VL lub obu = 0,736%.

Prawdopodobieństwo 0,00736 przedstawiono przy ilorazie szans równym 1. Na podstawie transformacji z prawdopodobieństwa na iloraz szans: , nie może to być równe 1: .$o=\frac{p}{1-p}$$0.00741=\frac{0.00736}{1-0.00736}$

Robi się to jeszcze bardziej mylące. Złożony iloraz szans, który reprezentuje wiele zmiennych towarzyszących o wartościach innych niż poziom podstawowy, stosuje się do obliczenia przewidywanego ryzyka.

... złożony OR z tabeli 1 wyniósłby 1,28 x 1,58 x 2,99 x 2,46 x 1,45 x 1,60 = 34,5, a z wykresu na rycinie 1 widzimy, że ta OR odpowiada przewidywanemu prawdopodobieństwu PCR lub VL lub obu około 20%

Jedynym sposobem na uzyskanie wartości podanych w artykule jako przykładów jest pomnożenie wyjściowego prawdopodobieństwa przez złożone kursy takie jak to: .$0.2025=\frac{(34.50\ \times\ 0.00736)}{1\ +\ (34.50\ \times\ 0.00736)}$

Więc co tu się dzieje? Jaka jest logika przypisywania ilorazu szans 1 do wyjściowego prawdopodobieństwa, które nie jest równe 0,5? Formuła aktualizacji, którą wymyśliłem powyżej, zawiera odpowiednie prawdopodobieństwa dla przykładów w artykule, ale nie jest to bezpośrednie zwielokrotnienie ilorazu szans. Co to jest?

Kursy są sposobem na wyrażenie szans. Stosunki szans są takie: jeden kurs podzielony przez drugi. Oznacza to, że iloraz szans jest pomnożony przez jeden kurs, aby uzyskać inny. Zobaczmy, jak działają w tej wspólnej sytuacji.

Przeliczanie szans i prawdopodobieństw

$Y$$1$0 Pr ( Y = 0 $\Pr(Y=1)$$0$$\Pr(Y=0)$

$$\text{Odds}(Y) = \frac{\Pr(Y=1)}{\Pr(Y=0)} = \frac{\Pr(Y=1)}{1 - \Pr(Y=1)}.$$

Równoważne wyrażenie po prawej stronie pokazuje, że wystarczy model aby znaleźć szanse. I odwrotnie, pamiętaj, że możemy rozwiązać$\Pr(Y=1)$

$$\Pr(Y=1) = \frac{\text{Odds}(Y)}{1 + \text{Odds}(Y)} = 1 - \frac{1}{1 + \text{Odds}(Y)}.$$

Regresja logistyczna

Regresja logistyczna modeluje logarytm szansy jako liniowej funkcji zmiennych objaśniających. , pisząc te zmienne jako i włączając możliwy stały wyraz w funkcji liniowej, możemy nazwać współczynniki (które należy oszacować na podstawie danych) jako i . Formalnie tworzy to modelx 1 , … , x p β 1 , … , β p β $Y$$x_1, \ldots, x_p$$\beta_1,\ldots, \beta_p$$\beta_0$

$$\log\left(\text{Odds}(Y)\right) = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_p x_p.$$

Same szanse można odzyskać, cofając logarytm:

$$\text{Odds}(Y) = \exp(\beta_0 + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_p x_p).$$

Korzystanie ze zmiennych jakościowych

Zmienne kategorialne, takie jak grupa wiekowa, płeć, obecność jaskry itp. , Włącza się za pomocą „kodowania zastępczego”. Aby pokazać, że sposób kodowania zmiennej nie ma znaczenia, przedstawię prosty przykład jednej małej grupy; uogólnienie na wiele grup powinno być oczywiste. W tym badaniu jedną zmienną jest „wielkość źrenicy” z trzema kategoriami: „Duża”, „Średnia” i „Mała”. (Badanie traktuje je jako czysto kategoryczne, najwyraźniej nie zwracając uwagi na ich naturalną kolejność.) Intuicyjnie, każda kategoria ma swoje własne szanse, powiedz dla „Large”, dla „Medium” i dla „Small” . Oznacza to, że wszystkie inne rzeczy są równe,α M α $\alpha_L$$\alpha_M$$\alpha_S$

$$\text{Odds}(Y) = \exp(\color{Blue}{\alpha_L + \beta_0} + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_p x_p)$$

dla każdego w kategorii „Duża”,

$$\text{Odds}(Y) = \exp(\color{Blue}{\alpha_M + \beta_0} + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_p x_p)$$

dla każdego w kategorii „Medium” oraz

$$\text{Odds}(Y) = \exp(\color{Blue}{\alpha_S + \beta_0} + \beta_1 x_1 + \cdots + \beta_p x_p)$$

dla osób z kategorii „Małe”.

Tworzenie możliwych do zidentyfikowania współczynników

Pokolorowałem pierwsze dwa współczynniki, aby je podświetlić, ponieważ chcę, abyście zauważyli, że pozwalają one na prostą zmianę: możemy wybrać dowolną liczbę , dodając ją do i odejmując od każdego z , i , nie zmienilibyśmy żadnych przewidywanych szans. Wynika to z oczywistych równoważników formyβ 0 α $\gamma$$\beta_0$$\alpha_L$α $\alpha_M$$\alpha_S$

$$\alpha_L + \beta_0 = (\alpha_L - \gamma) + (\gamma + \beta_0 ),$$

itp. Chociaż nie stanowi to problemu dla modelu - nadal przewiduje dokładnie te same rzeczy - pokazuje, że parametry same w sobie nie są interpretowalne. Po wykonaniu tego manewru dodawania i odejmowania pozostają te same różnice między współczynnikami. Konwencjonalnie, aby zaradzić temu brakowi identyfikowalności, ludzie (i domyślnie oprogramowanie) wybierają jedną z kategorii w każdej zmiennej jako „podstawową” lub „referencyjną” i po prostu zastrzegają, że jej współczynnik wyniesie zero. To usuwa dwuznaczność.

W artykule wymieniono najpierw kategorie referencyjne; „Duży” w tym przypadku. Tak więc jest odejmowane od każdego z i i dodawane do celu kompensacji.α L , α M , α S β $\alpha_L$$\alpha_L, \alpha_M,$$\alpha_S$$\beta_0$

szanse dla hipotetycznej osoby do wszystkich podstawowych kategorii zatem plus kilka terminów związanych ze wszystkimi innymi „zmiennymi towarzyszącymi” - zmiennymi :$\beta_0$

$$\text{Odds(Base category)} = \exp(\beta_0 + \beta_1X_1 + \cdots + \beta_p X_p).$$

Nie pojawiają się tutaj terminy związane z żadnymi zmiennymi kategorialnymi. (W tym momencie nieznacznie zmieniłem notację: beta są teraz współczynnikami tylko zmiennych towarzyszących , podczas gdy pełny model zawiera dla różnych kategorii).$\beta_i$$\alpha_j$

Porównywanie szans

Porównajmy szanse. Załóżmy, że hipotetyczna osoba to

mężczyzna w wieku 80–89 lat z białą zaćmą, bez widocznego widoku i małym uczniem operowanym przez specjalistę ...

Z tym pacjentem (nazwijmy go Charlie) związane są szacunkowe współczynniki dla każdej kategorii: dla jego grupy wiekowej, za bycie mężczyzną i tak dalej. Wszędzie tam, gdzie jego atrybut jest podstawą dla jego kategorii, zgodnie z konwencją współczynnik wynosi zero , jak widzieliśmy. Ponieważ jest to model liniowy, współczynniki się dodają. Tak więc, do podanych powyżej podstawowych logarytmicznych szans logarytmicznych dla tego pacjenta uzyskuje się przez dodanie$\alpha_\text{80-89}$$\alpha_\text{male}$

$$\alpha_\text{80-89}+\alpha_\text{male}+\alpha_\text{no Glaucoma}+ \cdots + \alpha_\text{specialist registrar}.$$

Jest to dokładnie kwota, o którą dzienne szanse tego pacjenta różnią się od podstawy. Aby przeliczyć z logarytmów, cofnij logarytm i przypomnij sobie, że zamienia to dodawanie w mnożenie. Dlatego kurs podstawowy należy pomnożyć

$$\exp(\alpha_\text{80-89})\exp(\alpha_\text{male})\exp(\alpha_\text{no Glaucoma}) \cdots \exp(\alpha_\text{specialist registrar}).$$

Są to liczby podane w tabeli pod „Skorygowanym OR” (skorygowany iloraz szans). (Nazywa się to „skorygowane”, ponieważ w modelu uwzględniono zmienne towarzyszące . Nie odgrywają one żadnej roli w żadnym z naszych obliczeń, jak się przekonacie. Nazywa się to „współczynnikiem”, ponieważ jest to dokładnie które podstawowe szanse należy pomnożyć, aby uzyskać przewidywane szanse pacjenta: patrz pierwszy akapit tego postu.) W tabeli są to: , , i tak dalej. Zgodnie z artykułem ich produkt działa do . W związku z tym$x_1, \ldots, x_p$$\exp(\alpha_\text{80-89})=1.58$$\exp(\alpha_\text{male})=1.28$$\exp(\alpha_\text{no Glaucoma})=1.00$$34.5$

$$\text{Odds(Charlie)} = 34.5\times \text{Odds(Base)}.$$

(Zauważ, że wszystkie kategorie podstawowe mają iloraz szans , ponieważ włączenie do produktu pozostawia niezmienione. W ten sposób możesz dostrzec kategorie podstawowe w tabeli.) $1.00=\exp(0)$$1$

Przekształcenie wyników jako prawdopodobieństwa

Na koniec przekonwertujmy ten wynik na prawdopodobieństwa. Powiedziano nam, że przewidywane prawdopodobieństwo wynosi . Dlatego korzystając ze wzorów odnoszących się do szans i prawdopodobieństw wyprowadzonych na wstępie, możemy obliczyć$0.736\%=0.00736$

$$\text{Odds(Base)} = \frac{0.00736}{1 - 0.00736} = 0.00741.$$

W związku z tym szanse Charliego są

$$\text{Odds(Charlie)} = 34.5\times 0.00741 = 0.256.$$

Wreszcie, przekształcenie tego z powrotem w prawdopodobieństwa daje

$$\Pr(Y(\text{Charlie})=1) = 1 - \frac{1}{1 + 0.256} = 0.204.$$