Jak należy obliczyć standardowe błędy dla oszacowań modelu efektów mieszanych?

W szczególności, w jaki sposób należy obliczać standardowe błędy stałych efektów w liniowym modelu efektów mieszanych (w sensie częstym)?

Doprowadzono mnie do przekonania, że ​​typowe szacunki ( ), takie jak te przedstawione w Laird i Ware [1982] dadzą SE, że są niedoszacowane pod względem wielkości, ponieważ szacowane składniki wariancji są traktowane tak, jakby były prawdziwymi wartościami.${\rm Var}(\hat\beta)=(X'VX)^{-1}$

Zauważyłem, że SE generowane przez funkcje lmei summaryw nlmepakiecie dla R nie są po prostu równe pierwiastkowi kwadratowemu diagonali macierzy wariancji-kowariancji podanej powyżej. Jak są obliczane?

Mam również wrażenie, że Bayesianie używają odwrotnych priorytetów gamma do szacowania składników wariancji. Czy dają one takie same wyniki (przy właściwym ustawieniu) jak lme?

Początkowo myślałem, że w przypadku zwykłej regresji liniowej po prostu wprowadzamy nasze oszacowanie wariancji resztkowej , jakby to była prawda.$\sigma^2$

Jednak spójrz na McCulloch i Searle (2001) Modele uogólnione, liniowe i mieszane, wydanie pierwsze , rozdział 6.4b, „Wariacja próbkowania”. Wskazują, że nie można po prostu podłączyć oszacowań składników wariancji :

Zamiast zajmować się wariancją (macierzą) wektora , rozważamy prostszy przypadek skalarnego dla (tj. dla niektórych ). l ' β l ' β l ' = t ' x t $X \hat{\beta}$$l' \hat{\beta}$$l'\beta$$l' = t'X$$t'$

Dla znanego mamy z (6.21), że . Zamiennikiem tego, gdy nie jest znane, jest użycie , co jest oszacowaniem . Jednak to nie oszacowanie . Ten ostatni wymaga uwzględnienia zmienności a także tej w . Aby sobie z tym poradzić, Kackar i Harville (1984, s. 854) zauważają, że (w naszym zapisie)var ( l " r ] var ( L ' β ) = var [ l ' ( X ' V - $V$V L ' ( X ' V - 1 x ) - L var ( L ' β 0 ) = var [ l ' ( X ' V - 1 X ) - X ′ V - $\text{var}(l' \beta^0) = l'(X'V{-1}X)^- l$$V$$l'(X'\hat{V}^{-1}X)^- l$$\text{var}(l'\beta^0) = \text{var}[l' (X' V^{-1} X)^- X' V^{-1} y]$V Y L ' β - l ' β l ' β - l ' β 0 l ′ β 0 - l ′ β $\text{var}(l'\hat{\beta}) = \text{var}[l' (X' \hat{V}^{-1} X)^- X' \hat{V}^{-1} y]$$\hat{V}$$y$$l' \hat{\beta} - l' \beta$można wyrazić jako sumę dwóch niezależnych części, i . To prowadzi do wyrażenia jako sumy dwóch wariancji, które piszemy jako$l' \hat{\beta} - l' \beta^0$$l'\beta^0 - l' \beta$$\text{var}(l' \hat{\beta})$

$$\text{var}(l'\hat{\beta}) = ... \approx l'(X' V^{-1} X)l + l' T \; l$$

Idą do wyjaśnienia . $T$

Odpowiada to na pierwszą część twojego pytania i wskazuje, że twoja intuicja była poprawna (a moja błędna).