pdf produktu dwóch niezależnych jednolitych zmiennych losowych

Niech $X$ ~ $U(0,2)$ i $Y$ ~ $U(-10,10)$ będą dwiema niezależnymi zmiennymi losowymi o danych rozkładach. Jaki jest rozkład $V=XY$ ?

Próbowałem splotu, wiedząc o tym

$$h(v) = \int_{y=-\infty}^{y=+\infty}\frac{1}{y}f_Y(y) f_X\left (\frac{v}{y} \right ) dy$$

Wiemy również, że $f_Y(y) = \frac{1}{20}$ ,

$$h(v)= \frac{1}{20} \int_{y=-10}^{y=10} \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{2}dy$$ $$h(v)=\frac{1}{40}\int_{y=-10}^{y=10} \frac{1}{y}dy$$

Coś mi mówi, że jest tu coś dziwnego, ponieważ jest nieciągły przy 0. Proszę o pomoc.

Dobra, rygorystyczna i elegancka odpowiedź została już opublikowana. Cel ten jest w celu uzyskania tego samego wyniku w sposób, który może być bardziej Ujawnienie podstawowej struktury . Pokazuje, dlaczego funkcja gęstości prawdopodobieństwa (pdf) musi być liczbą pojedynczą przy 0 .$XY$$0$

---

Wiele można osiągnąć, koncentrując się na formach dystrybucji komponentów :

• jest dwukrotnościązmiennej losowej U ( 0 , 1 ) . U ( 0 , 1 ) jest standardową, „ładną” formą charakterystyczną dla wszystkich rozkładów jednorodnych.$X$$U(0,1)$$U(0,1)$

• jest dziesięć razyzmienną losową U ( 0 , 1 ) .$|Y|$$U(0,1)$

• Znak następuje rozkład Rademacher: jest on równy - 1 lub 1 , każdy z prawdopodobieństwem 1 / 2 .$Y$$-1$$1$$1/2$

(Ten ostatni krok przekształca zmienną nieujemną w rozkład symetryczny wokół , których oba ogony wyglądają jak rozkład pierwotny.)$0$

Dlatego (a) jest symetryczny około 0, a (b) jego wartość bezwzględna wynosi 2 × 10 = 20- krotność iloczynu dwóch niezależnych zmiennych losowych U ( 0 , 1 ) .$XY$$0$$2\times 10=20$$U(0,1)$

Produkty są często upraszczane poprzez logarytmy. Rzeczywiście, dobrze wiadomo, że log ujemny zmiennej ma rozkład wykładniczy (ponieważ jest to najprostszy sposób generowania losowych zmiennych wykładniczych), skąd log ujemny iloczynu dwóch z nich ma rozkład sumy dwóch wykładników. Wykładniczy jest rozkładem Γ ( 1 , 1 ) . Rozkłady gamma z tym samym parametrem skali są łatwe do dodania: wystarczy dodać ich parametry kształtu. A Γ ( 1 , 1 ) plus Γ ( $U(0,1)$$\Gamma(1,1)$$\Gamma(1,1)$ zmienna ma zatem rozkład Γ ( 2 , 1 ) . w konsekwencji$\Gamma(1,1)$$\Gamma(2,1)$

Zmienna losowa jest symetryczną wersją 20- krotności wykładniczej wartości ujemnej zmiennej Γ ( 2 , 1 ) .$XY$$20$$\Gamma(2,1)$

Konstrukcja pliku PDF z rozkładu U ( 0 , 1 ) jest pokazana od lewej do prawej, przechodząc od munduru, do wykładniczego, do Γ ( 2 , 1 ) , do wykładniczego jego ujemnego , do tej samej rzeczy skalowanej o 20 , i wreszcie symetrycznej wersji tego. Jego PDF jest nieskończony w 0 , potwierdzając tam nieciągłość.$XY$$U(0,1)$$\Gamma(2,1)$$20$$0$

Możemy być zadowoleni z zatrzymania się tutaj. Na przykład ta charakterystyka umożliwia nam generowanie bezpośrednio realizacji , jak w tym wyrażeniu:$XY$R

n <- 1; 20 * exp(-rgamma(n, 2, scale=1)) * ifelse(runif(n) < 1/2, -1, 1)

Analiza ta ujawnia również, dlaczego plik PDF wysadza się w . $0$ Ta osobliwość pojawiła się po raz pierwszy, gdy rozważaliśmy wykładniczy (minus) a rozkład Γ ( 2 , 1 ) , odpowiadający pomnożeniu jednego U ( 0 , 1 ) zmiennego przez inny. Wartości w (powiedzmy) ε od 0 powstają na wiele sposobów, w tym (ale nie wyłącznie), gdy (a) jeden z czynników jest mniejszy niż ε lub (b) oba czynniki są mniejsze niż$\Gamma(2,1)$$U(0,1)$$\varepsilon$$0$$\varepsilon$ . Ten pierwiastek kwadratowy jest ogromnie większy niżsamε, gdyεjest bliskie0. Wymusza to duże prawdopodobieństwo, w kwocie większej niż$\sqrt{\varepsilon}$$\varepsilon$$\varepsilon$$0$ , aby zostać ściśniętym w przedziale długościε. Aby było to możliwe, gęstość produktu musi stać się dowolnie duża przy0. Kolejne manipulacje - przeskalowanie o współczynnik20i symetryczność - oczywiście nie wyeliminują tej osobliwości.$\sqrt{\varepsilon}$$\varepsilon$$0$$20$

Ta opisowa charakterystyka odpowiedzi prowadzi również bezpośrednio do formuł z minimalnym zamieszaniem, pokazując, że jest kompletna i rygorystyczna. Na przykład, aby uzyskać pdf , zacznij od elementu prawdopodobieństwa rozkładu Γ ( 2 , 1 ) ,$XY$$\Gamma(2,1)$

$$f(t)dt = te^{-t}dt,\ 0 \lt t \lt \infty.$$

Pozostawienie oznacza d t = - d ( log ( z $t=-\log(z)$ i 0 < z < 1 . Ta transformacja również odwraca kolejność: większe wartości t prowadzą do mniejszych wartości z . Z tego powodu musimy zanegować wynik po zmianie, podając$dt = -d(\log(z)) = -dz/z$$0 \lt z \lt 1$$t$$z$

$$f(t)dt = -\left(-\log(z) e^{-(-\log(z))} (-dz/z)\right) = -\log(z) dz,\ 0 \lt z \lt 1.$$

Współczynnik skali przekształca to na$20$

$$-\log(z/20) d(z/20) = -\frac{1}{20}\log(z/20)dz,\ 0 \lt z \lt 20.$$

Wreszcie symetryzacja zastępuje przez | z | , pozwala, aby jej wartości wahały się teraz od - 20 do 20 , i dzieli pdf przez 2, aby równomiernie rozłożyć całkowite prawdopodobieństwo na przedziały ( - 20 , 0 ) i ( 0 , 20 ) :$z$$|z|$$-20$$20$$2$$(-20,0)$$(0,20)$

$$\eqalign{ f_{XY}(z)dz &= -\frac{1}{2}\frac{1}{20} \log(|z|/20),\ -20 \lt z\lt 20;\\ f_{XY}(z)dz &= 0\ \text{otherwise}. }$$

W swojej derywacji, nie używać gęstość . Ponieważ X ∼ U ( 0 , 2 ) , f X ( x ) = $X$$X\sim\mathcal{U}(0,2)$

$$f_X(x) = \frac{1}{2}\mathbb{I}_{(0,2)}(x)$$ więc we wzorze splotu (I skorygowane jakobian przez dodanie wartości bezwzględne). Stąd h ( v $$h(v)= \frac{1}{20} \int_{-10}^{10} \frac{1}{|y|}\cdot \frac{1}{2}\mathbb{I}_{(0,2)}(v/y)\text{d}y$$ Oto potwierdzenie poprzez symulację wyniku: $$\begin{align*} h(v) &= \frac{1}{40} \int_{-10}^{0} \frac{1}{|y|} \mathbb{I}_{0\le v/y\le 2}\text{d}y+\frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{|y|}\mathbb{I}_{0\le v/y\le 2}\text{d}y\\ &= \frac{1}{40} \int_{-10}^{0} \frac{1}{|y|} \mathbb{I}_{0\ge v/2\ge y\ge -10}\text{d}y+\frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{|y|}\mathbb{I}_{0\le v/2\le y\le 10}\text{d}y\\&= \frac{1}{40} \mathbb{I}_{-20\le v\le 0} \int_{-10}^{v/2} \frac{1}{|y|}\text{d}y+\frac{1}{40} \mathbb{I}_{20\ge v\ge 0} \int_{v/2}^{10} \frac{1}{|y|}\text{d}y\\ &= \frac{1}{40} \mathbb{I}_{-20\le v\le 0} \log\{20/|v|\}+\frac{1}{40} \mathbb{I}_{0\le v\le 20} \log\{20/|v|\}\\ &=\frac{\log\{20/|v|\}}{40}\mathbb{I}_{-20\le v\le 20} \end{align*}$$

uzyskane jako

   hist(runif(10^6,0,2)*runif(10^6,10,10),prob=TRUE,
   nclass=789,border=FALSE,col="wheat",xlab="",main="")
   curve(log(20/abs(x))/40,add=TRUE,col="sienna2",lwd=2,n=10^4)