Transformacja liniowa zmiennej losowej przez wysoką prostokątną macierz

$\vec{X} \in \mathbb{R}^n$$f_\vec{X}(\vec{x})$$n \times n$$A$$\vec{Y} = A\vec{X}$$\vec{Y}$

$$f_{\vec{Y}}(\vec{y}) = \frac{1}{\left|\det A\right|}f_{\vec{X}}(A^{-1}\vec{y}).$$

Powiedzmy teraz, że przekształcamy zamiast macierzy macierzy , z , dając . Wyraźnie , ale „żyje” w wymiarowej podprzestrzeni . Jaka jest gęstość warunkowa , skoro wiemy, że leży ona w ?$\vec{X}$$m \times n$$B$$m > n$$\vec{Z} = B\vec{X}$$Z \in \mathbb{R}^m$$n$$G \subset \mathbb{R}^m$$\vec{Z}$$G$

Moim pierwszym odruchem było użyć pseudo-odwrotność . Jeżeli jest pojedyncza wartość rozkładu , następnie jest pseudo-odwrotny, w którym jest utworzony poprzez odwrócenie niezerowe wpisy przekątnej macierzy . Domyślam się, że dałoby to gdzie przez mam na myśli iloczyn niezerowych wartości pojedynczych.$B$$B = U S V^T$$B$$B^+ = V S^+ U^T$$S^+$$S$

$$f_\vec{Z}(\vec{z}) = \frac{1}{\left|\det^+ S\right|} f_\vec{X}(B^+ \vec{z}),$$ $\det^+ S$

To rozumowanie zgadza się z gęstością pojedynczej normy (uwarunkowanej wiedzą, że zmienna żyje w odpowiedniej podprzestrzeni) podaną tutaj i wspomnianą również tutaj i w tym poście z potwierdzonym krzyżem .

Ale to nie w porządku! Stała normalizacji jest wyłączona. Podany jest (trywialny) kontrprzykład, biorąc pod uwagę następujący przypadek: W , niech Tutaj macierz z góry jest tylko wektorem jedności. Jego pseudo-odwrotność to i . Powyższe rozumowanie sugeruje, że ale tak naprawdę integruje się (na linii ) z$X \sim \mathcal{N(0, 1)}$

$$\vec{Y} = \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} X = \begin{pmatrix}X \\ X\end{pmatrix}.$$ $B$ $$B^+ = \begin{pmatrix}1/2 & 1/2\end{pmatrix}$$ $\det^+ B = \sqrt{2}$ $$f_\vec{Y}(\vec{y}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{2}}\exp\left(-\frac{1}{2}\vec{y}^T (B^+)^T B^+ \vec{y}\right),$$ $y = x$$\frac{1}{\sqrt{2}}$. Zdaję sobie sprawę, że w tym przypadku możesz po prostu usunąć jeden z wpisów , gotowe, ale gdy jest znacznie większy, identyfikowanie zestawu wpisów do usunięcia jest denerwujące. Dlaczego pseudo-odwrotne rozumowanie nie działa? Czy istnieje ogólny wzór na funkcję gęstości liniowej transformacji zbioru zmiennych losowych za pomocą macierzy „wysokiej”? Wszelkie odniesienia byłyby również mile widziane.$\vec{Y}$$B$

Dla tych, którzy mogą się z tym spotkać w przyszłości ... źródło błędu faktycznie wynika z integracji. W powyższym przykładzie integracja odbywa się ponad linią . Dlatego konieczne jest „sparametryzowanie” linii i wzięcie pod uwagę jakobianu parametryzacji przy przyjmowaniu całki, ponieważ każdy krok jednostkowy w osi odpowiada krokom długości na linii. Parametryzacja, której domyślnie użyłem, została podana przez , innymi słowy, określając oba identyczne wpisy według wartości. Ma to Jacobian , co starannie anuluje się z$y = x$$x$$\sqrt{2}$$x \mapsto (x, x)$$\vec{y}$$\sqrt{2}$$\sqrt{2}$ (pochodzący z dokładnie tego samego jakobiańskiego) w mianowniku.

Przykład był sztucznie prosty - dla ogólnej transformacji można uzyskać inną parametryzację wyjścia, która jest naturalna w kontekście problemu. Ponieważ parametryzacja musi obejmować tę samą podprzestrzeń co , a ta podprzestrzeń jest hiperpłaszczyzną, sama parametryzacja prawdopodobnie będzie liniowa. Wywołując reprezentację macierzy parametryzacji , wymaga się po prostu, aby miała taką samą przestrzeń kolumny jak (pokrywa tę samą hiperpłaszczyznę). Następnie końcowa gęstość staje się$B$$G$$B$$m \times n$$L$$B$

$$f_{\vec{Z}}(\vec{z}) = \frac{\left|\det^+ L\right|}{\left|\det^+ B\right|}f_{\vec{X}}(B^+ \vec{z}).$$

Ogólnie rzecz biorąc, ta konfiguracja jest dość dziwna i myślę, że właściwą rzeczą jest znalezienie maksymalnego liniowo niezależnego zestawu wierszy i usunięcie pozostałej części wierszy (wraz z odpowiednimi składnikami przekształconej zmiennej ), aby uzyskać macierzy kwadratowej . Następnie problem sprowadza się do przypadku pełnego rzędu (przy założeniu, że ma pełny stopień kolumny).$B$$\vec{z}$$\hat B$$n \times n$$B$