Załóżmy niezależne zmienne losowe dla których kwantyle na pewnym określonym poziomie są znane na podstawie danych szacunkowych: , ..., . Teraz zdefiniujmy zmienną losową jako suma . Czy istnieje sposób na obliczenie wartości kwantylu sumy na poziomie, to jest, w ?
Myślę, że w szczególnych przypadkach, na przykład jeśli jest zgodny z rozkładem Gaussa jest to łatwe, ale nie jestem tak pewien w przypadku, gdy dystrybucja jest nieznany. Jakieś pomysły?
Odpowiedzi:
Aby zrozumieć tę sytuację, dokonajmy wstępnego uproszczenia. Pracując zYi=Xi−qi uzyskujemy bardziej jednolitą charakterystykę
To znaczy każdyYi ma takie samo prawdopodobieństwo bycia negatywnym. Ponieważ
równanie definiujące dlaqZ jest równa
zqZ=qW+∑iqi .
Jakie są możliwe wartościqW ? Rozważ przypadek, w którymYi wszystkie mają ten sam rozkład z całym prawdopodobieństwem na dwóch wartościach, jedna z nich ujemna (y− ), a drugi pozytywny (y+ ). Możliwe wartości sumyW są ograniczone do ky−+(n−k)y+ dla k=0,1,…,n . Każde z nich występuje z prawdopodobieństwem
Skrajności można znaleźć przez
Wybieraniey− i y+ po to aby y−+(n−1)y+<0 ; y−=−n i y+=1 osiągnie to. To gwarantuje, że W będzie ujemna, z wyjątkiem sytuacji, gdy wszystkie Yi są pozytywne. Ta szansa jest równa1−(1−α)n . To przekraczaα kiedy n>1 , sugerując α kwantyl W musi być całkowicie negatywny.
Wybieraniey− i y+ po to aby (n−1)y−+y+>0 ; y−=−1 i y+=n osiągnie to. To gwarantuje, żeW będzie negatywny tylko wtedy, gdy wszystkie Yi są negatywne. Ta szansa jest równaαn . To mniej niżα kiedy n>1 , sugerując α kwantyl W musi być całkowicie pozytywny.
To pokazuje, żeα kwantyl W może być ujemny lub dodatni, ale nie jest równy zero. Jaki mógłby być jego rozmiar? Musi to być jakaś integralna liniowa kombinacjay− i y+ . Podanie obu tych liczb całkowitych zapewnia wszystkie możliwe wartościW są integralne. Po skalowaniuy± przez dowolną liczbę dodatnią s , możemy zagwarantować, że wszystkie integralne kombinacje liniowe y− i y+ są integralnymi wielokrotnościami s . OdqW≠0 , Musi wynosić co najmniejs w rozmiarze . W związku z tym możliwe wartościqW (i skąd qZ ) są nieograniczone, bez względu na wszystkon>1 może być równy.
Tylko sposób czerpać żadnych informacji oqZ byłoby wprowadzenie konkretnych i silnych ograniczeń w dystrybucji sieci Xi , w celu zapobiegania i ograniczania rodzaju niezrównoważonych rozkładów zastosowanych do uzyskania tego ujemnego wyniku.
źródło