Dlaczego warto stosować metodę Monte Carlo zamiast prostej siatki?

podczas integracji funkcji lub w złożonych symulacjach widziałem, że metoda Monte Carlo jest szeroko stosowana. Zadaję sobie pytanie, dlaczego nie generuje się siatki punktów w celu zintegrowania funkcji zamiast rysowania losowych punktów. Czy nie przyniosłoby to dokładniejszych wyników?

Uznałem, że rozdział 1 i 2 tych notatek z wykładów był pomocny, gdy kilka lat temu sam zadałem to samo pytanie. Krótkie streszczenie: Siatka z punktami w 20 wymiarowej przestrzeni będzie wymagała oceny funkcji N 20 . To dużo. Korzystając z symulacji Monte Carlo, do pewnego stopnia unikamy przekleństwa wymiarowości. Zbieżność symulacji Monte Carlo O ( N - 1 / 2 ) , który jest, chociaż bardzo powoli, wymiarowo niezależne .$N$$N^{20}$$O(N^{-1/2})$

Jasne, że tak; ma jednak znacznie większe wykorzystanie procesora. Problem narasta zwłaszcza w wielu wymiarach, w których siatki stają się bezużyteczne.

Poprzednie komentarze są słuszne, ponieważ symulacja jest łatwiejsza do zastosowania w problemach wielowymiarowych. Istnieją jednak sposoby rozwiązania problemu - spójrz na http://en.wikipedia.org/wiki/Halton_sequence i http://en.wikipedia.org/wiki/Sparse_grid .

Podczas gdy zazwyczaj rozważa się Monte Carlo podczas próbkowania odrzucenia, łańcuch Monte Carlo Markowa pozwala badać wielowymiarową przestrzeń parametrów bardziej efektywnie niż przy pomocy siatki (lub próbkowanie odrzucenia w tym przypadku). Jak MCMC można wykorzystać do integracji, wyraźnie zaznaczono w tym samouczku - http://bioinformatics.med.utah.edu/~alun/teach/stats/week09.pdf

Dwie rzeczy -

1. Szybsza konwergencja dzięki unikaniu przekleństw wymiarowości. Ponieważ większość punktów na siatce leży na tej samej hiperpłaszczyźnie, nie wnosząc znacząco dodatkowych informacji. Losowe punkty równomiernie wypełniają przestrzeń N-wymiarową. LDS jest jeszcze lepszy.

2. Czasami w przypadku metod Monte Carlo potrzebujemy statystycznie losowych punktów w określonej kolejności. Uporządkowana sekwencja punktów siatki spowoduje słabe właściwości statystyczne.