Załóżmy, że zmienna losowa ma ciągły rozkład jednolity o parametrach 0 i 10 (tj. )
Teraz oznaczmy A zdarzenie, które = 5, a B zdarzenie, które jest równe albo albo 6. Według mojego zrozumienia, oba zdarzenia mają zerowe prawdopodobieństwo wystąpienia.
Teraz, jeśli rozważymy obliczenie , nie możemy użyć prawa warunkowego , ponieważ jest równe zero. Jednak moja intuicja mówi mi, że .
conditional-probability
continuous-data
uniform
Nowicjusz
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Dla ciągłych zmiennych losowych, i Y, powiedzmy, rozkłady warunkowe są zdefiniowane przez właściwość, że odzyskują pierwotną miarę prawdopodobieństwa, to znaczy dla wszystkich mierzalnych zbiorów A ∈ B ( X ) , B ∈ B ( Y ) , P ( X ∈ A , Y ∈ B ) = ∫ B d P Y ( y ) ∫ B d P X | Y ( x |X Y A∈B(X) B ∈ B( Y ) Oznacza to, że gęstość warunkowa jest definiowana arbitralnie na zbiorach miary zero lub, innymi słowy, że gęstość warunkowa p X | Y ( x | y ) jest zdefiniowaneprawie wszędzie. Ponieważ zbiór { 5 , 6 } ma miarę zerową w stosunku do miary Lebesgue'a, oznacza to, że można zdefiniować zarówno p ( 5 ), jak i p ( 6 ) w absolutnie dowolny sposób, a zatem prawdopodobieństwo P ( U = 5 |
Nie oznacza to, że nie można zdefiniować gęstości warunkowej za pomocą wzoru stosunku jak w przypadku normalnym dwuwymiarowym, ale po prostu, że gęstość jest zdefiniowana prawie wszędzie dla obu x i y .
Fakt, że argument ograniczający (gdy idzie do zera) w powyższej odpowiedzi wydaje się dawać naturalną i intuicyjną odpowiedź, jest związany z paradoksem Borela . Wybór parametryzacji w limicie ma znaczenie, jak pokazano w poniższym przykładzie, którego używam w swoich klasach licencjackich.ϵ
Weź dwuwymiarową normalną Jaka jest gęstość warunkowa X, biorąc pod uwagę, że X = Y ?X, Y∼iidN.( 0 , 1 ) X X= Y
Jeśli zaczniemy od gęstości połączenia , odpowiedź „intuicyjna” jest [proporcjonalna do] φ ( x ) 2 . Można to uzyskać, biorąc pod uwagę zmianę zmiennej ( x , t ) = ( x , y - x ) ∼ φ ( x ) φ ( t + x ), gdzie T = Y - X ma gęstość φ (φ ( x ) φ ( y) φ ( x )2)
źródło
Oto kontrowersyjna odpowiedź:
Xi'an ma rację, że nie można warunkować zdarzeń z zerowym prawdopodobieństwem. Jednak Yair ma również rację, że gdy zdecydujesz się na proces ograniczający , możesz ocenić prawdopodobieństwo. Problem polega na tym, że istnieje wiele procesów ograniczających, które osiągają pożądany stan.
Zauważ, że wielu statystyk nie akceptuje zasady obojętności. Podoba mi się, ponieważ odzwierciedla moje intuicje. Chociaż nie zawsze jestem pewien, jak go zastosować, może za 50 lat będzie to bardziej powszechne?
źródło
Pozwolę sobie raz jeszcze podkreślić (i znowu), że powyższa metoda służy intuicji. Uzależnienie od zdarzeń o zerowym prawdopodobieństwie odbywa się bardzo często bez większego przemyślenia. Najlepszym przykładem, jaki mogę wymyślić, jest to, czy( X1, X2)) ∼ N( 0 , Σ ) X1 X2)= 0 P.( ξ= a ) = 0
Tak, możesz nadać sens warunkowaniu na zdarzeniach o wartości zero.
źródło