Generować równomiernie rozłożone wagi, które sumują się do jedności?

Powszechnie stosuje się wagi w aplikacjach, takich jak modelowanie mieszanin, i liniowo łączy funkcje podstawowe. Masy muszą często być zgodne z w i ≥ 0 i ∑ i w i = 1 . Chciałbym losowo wybrać wektor wagi w = ( w 1 , w 2 , … ) z jednolitego rozkładu takich wektorów.$w_i$$w_i ≥$$\sum_{i} w_i=1$$\mathbf{w} = (w_1, w_2, …)$

Kuszące może być użycie $w_i = \frac{\omega_i}{\sum_{j} \omega_j}$ gdzie$\omega_i \sim$U (0, 1), jednak jak omówiono w komentarzach poniżej, rozkład$\mathbf{w}$nie jest jednolity.

Biorąc jednak pod uwagę ograniczenie $\sum_{i} w_i=1$ , wydaje się, że leżąca u podstaw wymiarowość problemu wynosi $n-1$ i że powinna istnieć możliwość wyboru $\mathbf{w}$ poprzez wybór parametrów $n-1$ zgodnie z pewnym rozkładem, a następnie obliczenie odpowiadające $\mathbf{w}$ z tych parametrów (ponieważ po określeniu $n-1$ odważników pozostała masa jest w pełni określona).

Problem wydaje się być podobny do problemu wybierania punktu kuli (ale zamiast wybierać wektory 3, których normą jest jedność, chcę wybrać wektorów, których normą jest jedność).$ℓ_2$ℓ$n$$ℓ_1$

Dzięki!

Wybierz równomiernie (za pomocą n - 1 jednolitych liczb rzeczywistych w przedziale [ 0 , 1 ] ). Posortuj współczynniki tak, aby 0 ≤ x 1 ≤ ⋯ ≤ x n - 1 . Zestaw$\mathbf{x} \in [0,1]^{n-1}$$n-1$$[0,1]$$0 \le x_1 \le \cdots \le x_{n-1}$

Ponieważ możemy odzyskać posortowanej $x_i$ za pomocą częściowych sum , mapowanie x → w wynosi ( n - 1 ) ! do 1; w szczególności jego obraz to n - 1 simpleks w R n . Ponieważ (a) każda zamiana w rodzaju jest transformacją liniową, (b) poprzedni wzór jest liniowy, oraz (c) transformacje liniowe zachowują jednorodność rozkładów, jednorodność x implikuje jednorodność w na n - 1 simpleks.$w_i$$\mathbf{x} \to \mathbf{w}$$(n-1)!$$n-1$$\mathbb{R}^n$$\mathbf{x}$$\mathbf{w}$ $n-1$ W szczególności należy zauważyć, że marginesy niekoniecznie są niezależne.$\mathbf{w}$

Ten wykres punktowy 3D pokazuje wyniki 2000 iteracji tego algorytmu dla . Punkty są ograniczone do simpleksu i są w przybliżeniu równomiernie rozmieszczone na nim.$n=3$

Ponieważ czas wykonania tego algorytmu wynosi , jest on nieefektywny dla dużych n . Ale to odpowiada na pytanie! Lepszym sposobem (ogólnie)generowania równomiernie rozłożonych wartości na n - 1 -simplexjest narysowanie n jednolitych liczb rzeczywistych ( x 1 , … , x n ) w przedziale [ 0 , 1 ] , obliczenie$O(n \log(n)) \gg O(n)$$n$$n-1$$n$$(x_1, \ldots, x_n)$$[0,1]$

(co sprawia, że każdy pozytywne prawdopodobieństwem 1 , skąd ich suma jest prawie na pewno różna od zera) i zestaw$y_i$$1$

Działa ponieważ każdy posiada Γ ( 1 ) rozkład, co oznacza w posiada Dirichlet ( 1 , 1 , 1 ), rozkład - i jest jednolita.$y_i$$\Gamma(1)$$\mathbf w$$(1,1,1)$

    zz <- c(0, log(-log(runif(n-1))))
    ezz <- exp(zz)
    w <- ezz/sum(ezz)

Pierwszy wpis jest zerowany w celu identyfikacji; zobaczyłbyś to w wielomianowych modelach logistycznych. Oczywiście w modelach wielomianowych pod wykładnikami byłyby również zmienne towarzyszące, a nie tylko losowe zz. Rozkład zzs jest skrajnym rozkładem wartości; potrzebujesz tego, aby upewnić się, że wynikowe wagi są takie, że początkowo umieściłem rnormtam również, ale potem miałem przeczucie, że to nie zadziała.

Rozwiązanie jest oczywiste. Poniższy kod MathLab zawiera odpowiedź na 3 wagi.

function [  ] = TESTGEN( )
SZ  = 1000;
V  = zeros (1, 3);
VS = zeros (SZ, 3);
for NIT=1:SZ   
   V(1) = rand (1,1);     % uniform generation on the range 0..1
   V(2) = rand (1,1) * (1 - V(1));
   V(3) = 1 - V(1) - V(2);  
   PERM = randperm (3);    % random permutation of values 1,2,3
   for NID=1:3
         VS (NIT, NID) = V (PERM(NID));
    end
end 
figure;
scatter3 (VS(:, 1), VS(:,2), VS (:,3));
end