Umieszczanie strzałek na biplocie PCA

Szukam zaimplementować biplot do analizy głównych składników (PCA) w JavaScript. Moje pytanie brzmi: jak określić współrzędne strzałek z wyjścia $U,V,D$ rozkładu pojedynczego wektora (SVD) macierzy danych?

Oto przykładowy dwupłat wyprodukowany przez R:

biplot(prcomp(iris[,1:4]))

Próbowałem to sprawdzić w artykule Wikipedii na temat biplota, ale nie jest to zbyt przydatne. Lub poprawnie. Nie jestem pewien który.

Istnieje wiele różnych sposobów tworzenia dwupłatów PCA, więc nie ma unikalnej odpowiedzi na twoje pytanie. Oto krótki przegląd.

Zakładamy, że macierz danych ma n punktów danych w rzędach i jest wyśrodkowana (tzn. Wszystkie kolumny są zerowe). Na razie nie zakładamy, że był on znormalizowany, tzn. Rozważamy PCA na macierzy kowariancji (nie na macierzy korelacji). PCA oznacza rozkład pojedynczej wartości X = U S V ⊤ , możesz zobaczyć moją odpowiedź tutaj, aby uzyskać szczegółowe informacje: Związek między SVD a PCA. Jak korzystać z SVD do wykonywania PCA?$\mathbf X$$n$

W biplocie PCA dwa pierwsze główne składniki są wykreślane jako wykres rozproszenia, tj. Pierwsza kolumna jest wykreślana względem drugiej kolumny. Ale normalizacja może być inna; np. można użyć:$\mathbf U$

1. Kolumny : są to główne składniki skalowane do jednostkowej sumy kwadratów;$\mathbf U$
2. Kolumny : są to znormalizowane główne składniki (wariancja jednostkowa);$\sqrt{n-1}\mathbf U$
3. Kolumny : są to „surowe” główne elementy (rzuty na główne kierunki).$\mathbf{US}$

Ponadto oryginalne zmienne są wykreślane jako strzałki; czyli współrzędnych AN i -tym strzałka końcowych są przez ı wartości -tym w pierwszej i drugiej kolumnie V . Ale znowu można wybrać różne normalizacje, np .:$(x,y)$$i$$i$$\mathbf V$

1. Kolumny : Nie wiem, jak mogłaby to być interpretacja;$\mathbf {VS}$
2. Kolumny : są to obciążenia;$\mathbf {VS}/\sqrt{n-1}$
3. Kolumny : są to główne osie (aka główne kierunki, aka wektory własne).$\mathbf V$

Oto jak to wszystko wygląda w zestawie danych Fisher Iris:

$9$$\mathbf X$$\mathbf{US}^\alpha \beta$$\mathbf{VS}^{(1-\alpha)} / \beta$$9$ są „odpowiednimi dwuplotami”: mianowicie kombinacją dowolnej podploty z góry z tą podplotem bezpośrednio.

[Jakakolwiek kombinacja zostanie użyta, może być konieczne skalowanie strzałek według dowolnego dowolnego stałego współczynnika, tak aby zarówno strzałki, jak i punkty danych pojawiały się mniej więcej w tej samej skali.]

$\mathbf{VS}/\sqrt{n-1}$$\mathbf U\sqrt{n-1}$

Ten [szczególny wybór] prawdopodobnie zapewni najbardziej użyteczną pomoc graficzną w interpretacji wielowymiarowych matryc obserwacji, pod warunkiem oczywiście, że można je odpowiednio aproksymować na drugim miejscu.

$\mathbf{US}$$\mathbf{V}$

$\mathbf {US}$

biplot$\mathbf U$$\mathbf{VS}$biplot$0.8$biplot$n/(n-1)$$1$Strzały podstawowych zmiennych w biplocie PCA w R. )

PCA na macierzy korelacji

$\mathbf X$$1$

$1$$R=1$

Dalsza lektura:

• Analiza PCA i korespondencji w odniesieniu do Biplota - szczegółowe traktowanie przez @ttnphns.
• Jaka jest właściwa miara asocjacji zmiennej ze składnikiem PCA (na biplocie / wykresie ładowania)? - geometryczne wyjaśnienie @ttnphns, co oznaczają strzałki ładowania na dwupaku.