Jeśli są niezależną wersją beta, pokaż to również wersja beta

9

Oto problem, który pojawił się podczas egzaminu semestralnego na naszej uczelni kilka lat temu, z którym staram się rozwiązać.

Jeśli są niezależnymi zmiennymi losowymi o gęstości odpowiednio gęstości i to pokaż, że następuje po .X1,X2ββ(n1,n2)β(n1+12,n2)X1X2β(2n1,2n2)

Użyłem metody jakobianu, aby uzyskać, że gęstość jest następująca: Y=X1X2

fY(y)=4y2n1B(n1,n2)B(n1+12,n2)y11x2(1x2)n21(1y2x2)n21dx

Właściwie w tym momencie jestem zagubiony. Teraz w głównym artykule znalazłem podpowiedź. Próbowałem użyć podpowiedzi, ale nie mogłem uzyskać pożądanych wyrażeń. Wskazówka jest dosłowna w następujący sposób:

Wskazówka: Wyprowadź wzór na gęstość w odniesieniu do podanych gęstości i i spróbuj użyć zmiany zmiennej z .Y=X1X2X1X2z=y2x

W tym momencie próbuję skorzystać z tej wskazówki, rozważając zmianę zmiennej. Stąd otrzymuję, które po uproszczeniu okazuje się (pisanie dla )

fY(y)=4y2n1B(n1,n2)B(n1+12,n2)y2yz2y4(1y4z2)n21(1y2.z2y4)n21y2z2dz
xz
fY(y)=4y2n1B(n1,n2)B(n1+12,n2)y2y1y2(1y4x2)n21(1x2y2)n21dx

Naprawdę nie wiem, jak postępować. Nie jestem nawet pewien, czy właściwie interpretuję podpowiedź. W każdym razie, oto reszta podpowiedzi:

Zauważ, że używając zmiany zmiennej , wymaganą gęstość można wyrazić na dwa sposoby, uzyskując uśrednienie Teraz podziel zakres integracji na i i napisz i kontynuuj .z=y2x

fY(y)=constant.y2n11y21(1y2x)n21(1x)n21(1+yx)1xdx
(y2,y)(y,1)(1y2x)(1x)=(1y)2(yxx)2u=yxx

Cóż, szczerze mówiąc, nie rozumiem, w jaki sposób można skorzystać z tych wskazówek: wydaje się, że nigdzie się nie udaje. Pomoc jest doceniana. Z góry dziękuję.

Landon Carter
źródło
Widziałem podobny problem, przed którym skompilowałem kilka odniesień. Zobacz arxiv.org/pdf/1304.6671v1.pdf mathoverflow.net/questions/32782/...
Sid
@Sid Przepraszam, ale nie mogłem znaleźć tego problemu w tych referencjach ani nic podobnego. Czy mógłbyś uprzejmie wskazać miejsca? Dzięki!!
Landon Carter
Czy jesteś pewien, że poprawnie zastosowałeś metodę Jakobian? Jeśli to zrobię, otrzymam: Myślę, że również będziecie potrzebować podwojenia formula , patrz en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function
fY(y)=2y2n11B(n1,n2)B(n1+0.5,n2)y211x[(1y2x)(1x)]n11dx
Γ(z)Γ(z+0.5)=212zπΓ(2z)
StijnDeVuyst
Wygląda na to, że formuły są takie same. Być może musisz użyć zmiany zmiennej w formule, aby uzyskać mój. Mówię o Jakubie. z=x
Landon Carter
Nie sądzę, że są takie same. Dokonując zmiany zmiennej, którą wspominasz w mojej formule, otrzymuję coś nieco prostszego niż to, co masz w pierwszej całce twojego OP.
StijnDeVuyst

Odpowiedzi:

5

Udowodniłbym to w inny sposób, używając funkcji generujących moment. Lub równoważnie, pokazując, że ty moment jest równy ty moment losowej zmiennej z . Jeśli tak jest w przypadku wszystkich , to dzięki sile problemu momentu ćwiczenie jest udowodnione.qX1X2qBβ(2n1,2n2)q=1,2,

Ostatnią część otrzymujemy z http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution#Other_moments, że ty moment to Teraz pierwsza część: qB

E[Bq]=j=0q12n1+j2n1+2n2+j==Γ(2n1+q)Γ(2n1+2n2)Γ(2n1)Γ(2n1+2n2+q)
E[(X1X2)q]=(x1x2)qfX1(x1)fX2(x2)dx1dx2=xq/2fX1(x1)dx1x2q/2fX2(x2)dx2=1B(n1,n2)x1n1+q/21(1x1)n21dx11B(n1+12,n2)x2n1+q+121(1x2)n21dx2=B(n1+q2,n2)B(n1+q+12,n2)B(n1,n2)B(n1+12,n2)
Teraz wystarczy zastosować definicję a następnie formułę podwojenia . Okazuje się wtedy, że pierwsza część i druga część są dokładnie takie same.B(α,β)=Γ(α)Γ(β)Γ(α+β)Γ(α)Γ(α+12)=212απΓ(2α)
StijnDeVuyst
źródło
2
Nie sądzę, aby można powiedzieć, że równość momentów oznacza równość rozkładu. Istnieją przykłady, w których może to nie dotyczyć.
Landon Carter
2
StijnDeVuyst, przepraszam, to nie jest akceptowalna odpowiedź. Mam przykład, w którym momenty są równe, ale rozkłady nie są takie same. Ten przykład jest jednak trochę skomplikowany. Niestety nie mam teraz takiego przykładu; przyszedł również w ramach egzaminu semestralnego. Ale wkrótce opublikuję przykład w tym wątku, jeśli jesteś zainteresowany. W każdym razie sam rozwiązałem problem. Dzięki za pomoc.
Landon Carter
3
@yedaynara i Stijn: Klasyczny przykład A (the?) wynika z Heyde: Rozważ pdf gdzie to pdf standardowe lognormal i . Wszyscy członkowie tej rodziny dystrybucji mają te same chwile (wszystkich zamówień). Zauważ, że standardowy lognormal jest członkiem tej rodziny, a jego chwile mają ładnie zamkniętą formę. fb(x)=f0(x)(1+bsin(2πlogx))f0b[1,1]
kardynał
4
Istnieją jednak dodatkowe warunki (np. Carleman) dotyczące momentów, które zagwarantują wyjątkowość dystrybucji. Jest to znane jako problem momentu hamburgera .
kardynał
2
Cytat z web.williams.edu/Mathematics/sjmiller/public_html/book/papers/… „... Podstawową algebrą liniową jest sprawdzenie, czy pozytywna miara przy skończonym wsparciu jest jednoznacznie określona przez jej momenty…” Warunek Carlemana dla determinacji M dla rozkładów Beta w PO. @cardinal i yedaynara mają rację, że byłem zbyt szybki, aby to założyć. Ale najwyraźniej wsparcie jest tym, co ratuje dzień.
StijnDeVuyst