Co to znaczy, jeśli mediana lub średnia sum jest większa niż suma dodatków?

Analizuję rozkład opóźnień w sieci. Mediana czasu przesyłania (U) wynosi 0,5 s. Mediana czasu pobierania (D) wynosi 2 s. Jednak średni czas całkowity (dla każdego punktu danych T = U + D) wynosi 4 s.

Jakie wnioski można wyciągnąć, wiedząc, że mediana sumy jest znacznie większa niż suma median dodatków?

Z ciekawości statystyk, co by to znaczyło, gdyby to pytanie zastąpiło medianę średnią?

Mediany nie są liniowe, więc istnieje wiele okoliczności, w których może się zdarzyć coś takiego (tj. ) .$\text{median}(X_1)+\text{median}(X_2)<\text{median}(X_1+X_2)$

Bardzo łatwo jest skonstruować dyskretne przykłady, w których zachodzi taka sytuacja, ale jest to również powszechne w ciągłych sytuacjach.

Na przykład może się to zdarzyć przy przekrzywionych ciągłych rozkładach - przy ciężkim prawym ogonie mediany mogą być zarówno małe, ale mediana sumy jest „podciągnięta”, ponieważ istnieje duża szansa, że jedno z dwóch jest duże, a wartość powyżej mediana zwykle będzie znacznie powyżej niej, co spowoduje, że mediana sumy będzie większa niż suma median.

Oto wyraźny przykład: weź . Zatem i mają medianę więc suma median jest mniejsza niż , ale nazwa która ma medianę (w rzeczywistości według Wolfram Alpha)$X_1,X_2 \, \stackrel{\text{i.i.d.}}{ \sim} \operatorname{Exp}(1)$$X_1$$X_2$$\log(2) \approx 0.693$$1.4$$X_1+X_2\sim \operatorname{Gamma}(2,1)$$\approx 1.678$$-W_{-1}(-\frac{1}{2 e}) - 1$