Udowodnij lub podaj kontrprzykład:
Jeśli , to
Moja próba :
FALSE: Załóżmy, że może przyjmować tylko wartości ujemne i załóżmy, że
WTEDY , jednak dla parzystego , nie jest ściśle ujemny. Zamiast tego zamienia ujemne na dodatnie i ujemne. Dlatego, nie zbiegają się prawie na pewno do .
Czy to rozsądna odpowiedź? Jeśli nie, jak mogę poprawić swoją odpowiedź?
Odpowiedzi:
Przed udowodnieniem czegoś interesującego, zauważ, że prawie na pewno dla wszystkich nie jest warunkiem koniecznym dla obu instrukcji, aby miały sens, co ilustruje sekwencja deterministyczna .i ( - 1 , - 1 , 1 , 1 , 1 , … )Xi>0 i (−1,−1,1,1,1,…)
Co więcej, stwierdzenie to jest w rzeczywistości fałszywe, jak dowodzi następująca deterministyczna sekwencja: .(0,1,1,…)
Teraz załóżmy, że prawie na pewno dla wszystkich , to instrukcja jest prawdziwa, podając następujący argument:iXi>0 i
ZdefiniujPrzez contuity z , prawie na pewno. Tak więc prawie na pewno przez wynik dla Cesaro oznacza również udowodnione w powyższych komentarzach. Zatem przez ciągłość , prawie na pewno.x↦log(x)log(Xn)→log(X)Sn→log(X)x↦exp(x) ( n ∏ i = 1 X i ) 1 / n→X,
źródło
To twierdzenie jest fałszywe. Daję dowód, podając kontrprzykład.
Załóżmy, że losowa sekwencja jest zdefiniowana w następujący sposób:Xi
Najwyraźniej jest (1) zdegenerowane, a (2) prawie na pewno zbiega się do jako według silnego prawa wielkich liczb Czebyszewa. (Aby to zobaczyć, przepisz dla .)Xi X=1 i⟶∞ Zi=i−0.5Z Z∼N(0,1)
Ponieważ jednak , . W związku z tym , więc w granicy trywialnie zbiegnie do , czyli .X1=0 Πni=1Xi=0,∀n∈N (Πni=1Xi)1/n=0,∀n∈N 0 limn⟶∞(Πni=1Xi)1/n=0 □
źródło