10

Udowodnij lub podaj kontrprzykład:

Jeśli , toXn a.s. X(i=1nXi)1/n a.s. X

Moja próba :

FALSE: Załóżmy, że może przyjmować tylko wartości ujemne i załóżmy, żeXXnX n

WTEDY , jednak dla parzystego , nie jest ściśle ujemny. Zamiast tego zamienia ujemne na dodatnie i ujemne. Dlatego, nie zbiegają się prawie na pewno do .Xn a.s. Xn(i=1nXi)1/n(i=1nXi)1/nX

Czy to rozsądna odpowiedź? Jeśli nie, jak mogę poprawić swoją odpowiedź?

Lewkrr
źródło
4
Xi musi być ściśle pozytywne, aby miało to sens.
user765195
2
Oczywiście potrzebujesz aby zdefiniować . Najpierw udowodnij, że zbieżne z jako (google „Cesaro znaczy” w analizie rzeczywistej i dostosuj argument). Następnie rozważ . G n = ( n i = 1 X i ) 1 / n A n = n i = 1 X n / n X L n = log G nXi>0Gn=(i=1nXi)1/nAn=i=1nXn/nXLn=logGn
Zen
1
Niezbędne bieżąca analiza jest następująca: Jeśli , a . Dowód: dla każdego istnieje taki, że , dla każdego . Dlatego . Stąd, jeśli , wtedy , dla każdego . n i = 1 x i / n L ϵ > 0 n 01 | x n - L | < ϵ / 2 n n 0 | n i = 1 x i / n - L | n 0 i = 1 | x i - LxnLi=1nxi/nLϵ>0n01|xnL|<ϵ/2nn0n 1 > 2|i=1nxi/nL|i=1n0|xiL|/n+i=n0+1n|xiL|/n<n0max1in0|xiL|/n+ϵ/2| n i = 1 x i / n - L | < ϵ n n 1n1>2n0max1in0|xiL|/ϵ|i=1nxi/nL|<ϵnn1
Zen
Intuicja polega na tym, że obliczasz średnią z coraz większą liczbą , które są coraz bliżej i ostatecznie dominują w wyniku. L.xiL
Zen

Odpowiedzi:

3

Przed udowodnieniem czegoś interesującego, zauważ, że prawie na pewno dla wszystkich nie jest warunkiem koniecznym dla obu instrukcji, aby miały sens, co ilustruje sekwencja deterministyczna .i ( - 1 , - 1 , 1 , 1 , 1 , )Xi>0i(1,1,1,1,1,)

Co więcej, stwierdzenie to jest w rzeczywistości fałszywe, jak dowodzi następująca deterministyczna sekwencja: .(0,1,1,)

Teraz załóżmy, że prawie na pewno dla wszystkich , to instrukcja jest prawdziwa, podając następujący argument:iXi>0i

ZdefiniujPrzez contuity z , prawie na pewno. Tak więc prawie na pewno przez wynik dla Cesaro oznacza również udowodnione w powyższych komentarzach. Zatem przez ciągłość , prawie na pewno.xlog(x)log(Xn)log(X)Snlog(X)xexp(x) ( n i = 1 X i ) 1 / nX,

Sn=1ni=1nlog(Xi).
xlog(x)log(Xn)log(X)Snlog(X)xexp(x)
(i=1nXi)1/nX,
ekvall
źródło
0

To twierdzenie jest fałszywe. Daję dowód, podając kontrprzykład.

Załóżmy, że losowa sekwencja jest zdefiniowana w następujący sposób:Xi

ZiN(0,1/i),iid,iNXi=1{i1}+1{i1}Zi,iN

Najwyraźniej jest (1) zdegenerowane, a (2) prawie na pewno zbiega się do jako według silnego prawa wielkich liczb Czebyszewa. (Aby to zobaczyć, przepisz dla .)XiX=1iZi=i0.5ZZN(0,1)

Ponieważ jednak , . W związku z tym , więc w granicy trywialnie zbiegnie do , czyli . X1=0Πi=1nXi=0,nN(Πi=1nXi)1/n=0,nN0limn(Πi=1nXi)1/n=0

Jeremias K
źródło
2
Wygląda na to, że zapomniałeś wykładnika . 1/n
whuber
Dzięki, whuber, naprawiłem to :) Naprawdę powinienem popracować nad bardziej uważnym czytaniem ... Po raz pierwszy udowodniłem również, że instrukcja również nie działa dla ponieważ ja nie czytałem poprawnie. Πi=1nXi1/i
Jeremias K
Dzięki. Wszystkie te obliczenia wydają się zaciemniać prosty pomysł: jeśli jest niezerowy, nie zmienisz limitu, zmieniając dowolną skończoną liczbę na zero, ale to sprawi, że produkt będzie zerowy i otrzymasz sprzeczność. Słusznie. Jednakże, o ile nie powiedziano nam inaczej, stwierdzenia o nieskończonych produktach należy rozumieć jako stwierdzenia o nieskończonych sumach logarytmów. W szczególności zainteresowanie tym pytaniem skupia się na przypadku, w którym każdy jest prawie na pewno ściśle pozytywny . X i X iXXiXi
whuber
@ Whuber ten ostatni komentarz jest interesujący. Czy rzeczywiście jest tak, że limity produktów są umownie, a może z definicji (?) Rozumiane w kategoriach logarytmów? Jeśli tak, zmieniłbym również treść mojej odpowiedzi powyżej. W szczególności ostatni apel do ciągłości byłby zbyteczny.
ekvall
@Student Rozumowanie w odpowiedzi jest w porządku. W zastosowaniach statystycznych rzadko zdarza się, aby ktokolwiek patrzył na taką granicę środków geometrycznych, chyba że już myślał w kategoriach logarytmów.
whuber