Jak obliczyć standardowe błędy transformacji MLE?

9

Muszę wnioskować o dodatnim parametrze . Aby dopasować dodatniość, sparametryzowałem . Korzystając z procedury MLE, obliczyłem oszacowanie punktu i se dla . Właściwość niezmienniczości MLE bezpośrednio daje mi oszacowanie punktowe dla , ale nie jestem pewien, jak obliczyć se dla . Z góry dziękuję za wszelkie sugestie lub odniesienia.pp=exp(q)qpp

Marcel
źródło
Czy nie możesz użyć tej samej procedury MLE, aby bezpośrednio obliczyć oszacowanie punktu i se dla ? p
whuber

Odpowiedzi:

20

W tym celu stosowana jest metoda Delta . Zgodnie z niektórymi standardowymi założeniami dotyczącymi prawidłowości wiemy, że MLE, for jest w przybliżeniu (tj. Asymptotycznie) rozłożony jakoθ^θ

θ^N(θ,I1(θ))

gdzie jest odwrotnością informacji Fishera dla całej próbki, ocenianej na i oznacza rozkład normalny ze średnią i wariancja . Funkcjonalny niezmienność z MLE mówi, że MLE od , gdzie jest kilka znanych funkcji, to (jak zauważył) i ma przybliżoną dystrybucjiI1(θ)θN(μ,σ2)μσ2g(θ)gg(θ^)

g(θ^)N(g(θ),I1(θ)[g(θ)]2)

gdzie można podłączyć spójne estymatory dla nieznanych wielkości (tj. podłączyć gdzie pojawia się w wariancji). Zakładam, że standardowe błędy, które masz, oparte są na informacjach Fishera (ponieważ masz MLE). Oznacz ten błąd standardowy przez . Zatem standardowy błąd , jak w twoim przykładzie, toθ^θseθ^

s2e2θ^

Być może interpretuję cię wstecz i w rzeczywistości masz wariancję MLE i chcesz wariancję MLE w którym to przypadku standardem byłabyθlog(θ)

s2/θ^2
Makro
źródło
1
Tylko na marginesie: istnieją również odpowiednie rozszerzenia wielowymiarowe, w których pochodne są zastępowane gradientami, a mnożenia muszą być mnożeniami macierzowymi, więc nieco więcej bólu głowy przy ustalaniu, gdzie przebiega transpozycja.
StasK
1
Dzięki za zwrócenie uwagi na StasK. Wierzę w przypadku wielowymiarowym asymptotyczną kowariancjęg(θ^) jest g(θ)I(θ)1g(θ)
Makro
(+1) Dodałem link do założeń dotyczących prawidłowości (i niektórych innych rzeczy), ponieważ nie jest jasne, czy są one spełnione w problemie PO. Mógłbym tak powiedziećθ^jest asymptotycznie normalny i nie jest w przybliżeniu normalny, ponieważ współczynniki konwergencji mogą być czasami wolne.
MånsT
Dziękuję @ MånsT, wyjaśniłem też, że miałem na myśli asymptotycznie, kiedy powiedziałem w przybliżeniu :)
Macro
6

Makro podało prawidłową odpowiedź na temat przekształcania standardowych błędów metodą delta. Chociaż OP specjalnie poprosił o standardowe błędy, podejrzewam, że celem jest stworzenie przedziałów ufności dlap. Oprócz obliczeń szacowane standardowe błędyp^ możesz bezpośrednio przekształcić przedział ufności, [q1,q2], w q-parametryzacja do przedziału ufności [exp(q1),exp(q2)] w p-parametryzacja. Jest to całkowicie poprawne, a może nawet być lepszym pomysłem w zależności od tego, jak dobrze działa normalne przybliżenie uzasadniające przedział ufności oparty na standardowych błędachq-parametryzacja kontra p-parametryzacja. Ponadto bezpośrednio przekształcony przedział ufności spełni warunek dodatni.

NRH
źródło