Zrozumienie formuły różnicowania ułamkowego

11

Mam szereg czasowy yti chciałbym modelować to jako proces ARFIMA (alias FARIMA). Jeśli jest zintegrowane z (ułamkowym) rzędem , chciałbym różnicować go ułamkowo, aby stał się nieruchomy.ytre

Pytanie : czy następujący wzór definiujący różnicowanie ułamkowe jest poprawny?

Δreyt: =yt-reyt-1+re(re-1)2)!yt-2)-re(re-1)(re-2))3)!yt-3)+...+(-1)k+1re(re-1)...(re-k)k!yt-k+...

(Tutaj oznacza różnicowanie ułamkowe rzędu .)Δrere

Opieram formułę na tym artykule w Wikipedii na temat ARFIMA , rozdział ARFIMA ( ), ale nie jestem pewien, czy otrzymałem ją poprawnie.0,re,0

Richard Hardy
źródło

Odpowiedzi:

6

Tak, wydaje się być poprawne. Filtr ułamkowy jest zdefiniowany przez rozwinięcie dwumianowe:

Δre=(1-L.)re=1-reL.+re(re-1)2)!L.2)-re(re-1)(re-2))3)!L.3)+

Zauważ, że L. jest operatorem opóźnienia i tego filtra nie można uprościć, kiedy 0<re<1. Teraz rozważ proces:

ΔreXt=(1-L.)reXt=εt

Rozwijając się, otrzymujemy:

ΔreXt=(1-L.)reXt=Xt-reL.Xt+re(re-1)2)!L.2)Xt-re(re-1)(re-2))3)!L.3)Xt+=εt

które można zapisać jako:

Xt=reXt-1-re(re-1)2)!Xt-2)+re(re-1)(re-2))3)!Xt-3)-+εt

Patrz: Dynamika cen aktywów, zmienność i prognozy autorstwa Stephena J. Taylora (s. 243 w wydaniu z 2007 r.) Lub Szeregi czasowe: Teoria i metody Brockwella i Davisa w celu uzyskania dalszych odniesień.

Plissken
źródło
Moim problemem było przejście od ogólnej definicji filtra (tak jak masz) do zastosowania filtru na konkretnym yt. Wiem, że to musi być oczywiste, ale czy mógłbyś podać krok pokazujący, jak przejść z formuły do ​​mojej?
Richard Hardy,
Zobacz moją zredagowaną odpowiedź.
Plissken,