Czym dokładnie jest dystrybucja?

Bardzo mało wiem na temat prawdopodobieństwa i statystyki i chcę się uczyć. Widzę słowo „dystrybucja” używane wszędzie w różnych kontekstach.

Na przykład dyskretna zmienna losowa ma „rozkład prawdopodobieństwa”. Wiem co to jest. Ciągła zmienna losowa ma funkcję gęstości prawdopodobieństwa, a zatem dla $x\in\mathbb{R}$ całka od $-\infty$ do $x$ funkcji gęstości prawdopodobieństwa jest funkcją rozkładu skumulowanego obliczoną przy $x$ .

I najwyraźniej tylko „funkcja dystrybucji” jest synonimem „skumulowanej funkcji dystrybucji”, przynajmniej w przypadku ciągłych zmiennych losowych (pytanie: czy zawsze są one synonimami?).

Istnieje wiele znanych dystrybucji. $\Gamma$ dystrybucja $\chi^2$ dystrybucja itp. Ale czym dokładnie jest $\Gamma$ dystrybucja? Czy jest to funkcja rozkładu skumulowanego zmiennej losowej $\Gamma$ ? Czy funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej $\Gamma$ ?

Ale wtedy rozkład częstotliwości skończonego zestawu danych wydaje się być histogramem.

Krótko mówiąc: w definicji prawdopodobieństwa i statystyki, jaka jest definicja słowa „dystrybucja”?

Znam definicję rozkładu w matematyce (element podwójnej przestrzeni zbioru funkcji testowych wyposażonych w topologię granic indukcyjnych), ale nie prawdopodobieństwo i statystyki.

Dodaje się dla o wartości losowych zmiennych. Rozszerzenie na inne spacje jest proste, jeśli jesteś zainteresowany. Twierdziłbym, że poniższa nieco bardziej ogólna definicja jest bardziej intuicyjna niż osobno, biorąc pod uwagę funkcje gęstości, masy i skumulowanego rozkładu.$\mathbb R-$

W tekście zamieszczam pewne matematyczne / probabilistyczne terminy, aby były poprawne. Jeśli ktoś nie zna tych terminów, intuicja jest równie dobrze rozumiana przez samo myślenie o „zestawach Borela” jak o „dowolnym podzbiorze którym mogę myśleć”, a o zmiennej losowej wynik liczbowy jakiegoś eksperymentu z powiązane prawdopodobieństwo.$\mathbb R$

Niech jest przestrzenią prawdopodobieństwa i X ( ω ) R - o wartości zmiennej losowej w tej przestrzeni.$\left( \Omega, \mathcal F, P \right)$$X(\omega)$$\mathbb R-$

Funkcja zestaw , gdzie jest zestaw Borel, nazywa rozkład X .$Q(A):=P\left(\omega \in \Omega : X(\omega) \in A\right)$$A$$X$

Innymi słowy, rozkład mówi ci (luźno mówiąc), że dla dowolnego podzbioru prawdopodobieństwo X przyjmuje wartość w tym zbiorze. Można udowodnić, że Q jest całkowicie określone przez funkcję F ( x ) : = P ( X ≤ x ) i odwrotnie. Aby to zrobić - pomijając tutaj szczegóły - skonstruuj miarę na zestawach Borela, która przypisuje prawdopodobieństwo F ( x ) do wszystkich zbiorów ( - ∞ , x ) i argumentuje, że ta skończona miara zgadza się z Q na$\mathbb R$$X$$Q$$F(x):=P(X\leq x)$$F(x)$$(-\infty, x)$$Q$ system generujący borel σ - algebrę.$\pi-$$\sigma-$

Jeśli tak się stanie, że można zapisać jako Q ( A ) = ∫ A f ( x ) d x, to f jest funkcją gęstości dla Q i widać, chociaż gęstość ta nie jest jednoznacznie określona (rozważ zmiany na zestawy miary Lebesgue'a zero), to ma sens również mówić o f jako dystrybucji X . Zwykle jednak, nazywamy to funkcja gęstości prawdopodobieństwa X .$Q(A)$$Q(A) =\int_Af(x)dx$$f$$Q$$f$$X$$X$

Podobnie, jeśli zdarza się, że można zapisać jako Q ( A ) = ∑ i ∈ A ∩ { … , - 1 , 0 , 1 , … } f ( i ) , wówczas sens ma mówienie o f jako rozkład X, chociaż zwykle nazywamy to funkcją masy prawdopodobieństwa.$Q(A)$$Q(A)=\sum_{i\in A\cap\{\dots,-1,0,1,\dots\}}f(i)$$f$$X$

Tak więc, za każdym razem, gdy czytasz coś w rodzaju „ ma rozkład równomierny na [ 0 , 1 ] ”, oznacza to po prostu, że funkcja Q ( A ) , która mówi ci o prawdopodobieństwie, że X przyjmuje wartości w określonych zbiorach, charakteryzuje się funkcja gęstości prawdopodobieństwa f ( x ) = I [ 0 , 1 ] lub funkcja rozkładu skumulowanego F ( x ) = ∫ x - ∞ f ( t $X$$[0,1]$$Q(A)$$X$$f(x)=I_{[0,1]}$ .$F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)dt$

Ostatnia uwaga na temat przypadku, w którym nie ma wzmianki o zmiennej losowej, a jedynie rozkład. Można udowodnić, że biorąc pod uwagę funkcję rozkładu (lub funkcję masy, gęstości lub skumulowanego rozkładu), istnieje przestrzeń prawdopodobieństwa ze zmienną losową o takim rozkładzie. Zatem zasadniczo nie ma różnicy w mówieniu o rozkładzie lub o zmiennej losowej o tym rozkładzie. To tylko kwestia koncentracji.

Niech będzie przestrzenią prawdopodobieństwa, niech ( X , B ) będzie przestrzenią mierzalną i niech X : Ω → X będzie funkcją mierzalną, co oznacza, że X - 1 ( B ) = { ω : X ( ω ) ∈ B } ∈ K dla każdego B ∈ B . Rozkład X jest miarą prawdopodobieństwa $(\Omega,\mathscr{F},P)$$(\mathscr{X},\mathscr{B})$$X:\Omega\to\mathscr{X}$$X^{-1}(B)=\{\omega:X(\omega)\in B\}\in\mathscr{F}$$B\in\mathscr{B}$ $X$$\mu_X$ over $(\mathscr{X},\mathscr{B})$ defined by $\mu_X(B)=P(X\in B)$. When $\mathscr{X}=\mathbb{R}$ and $\mathscr{B}$ is the Borel sigma-field, we refer to the function $X$ as a random "variable".

The question and answers so far seem to have focused on theoretical distributions. Empirical distributions provide a more intuitive understanding of distributions.

Example

During a class tournament in skipping rope we observe all the kids in a class skipping rope. The first kid is able to jump twice, the second four times, the next one fifteen times, etc. We record the number of jumps. Five of the kids jumped eight times each, but only one of the kids jumped twice. We say that jumping eight times is differently distributed than jumping twice.

An ostensive definition for an observed distribution is the frequency of occurrences for each observed value of a variable.

Następnie w statystyce wnioskowania staramy się dopasować rozkłady teoretyczne do obserwowanych rozkładów, ponieważ chcielibyśmy pracować z założeniami rozkładów teoretycznych. Możesz uzyskać podobną definicję rozkładów teoretycznych, zastępując „obserwowany” słowem „obserwowalny”, a ściślej: „oczekiwany”.