Czy ta dystrybucja ma nazwę? Lub jaki jest proces stochastyczny, który mógłby go wygenerować?

To dyskretne prawo mocy.

(Jest to opis - którego znaczenie zostanie wyjaśnione poniżej - zamiast terminu technicznego. Wyrażenie „dyskretne prawo mocy” ma nieco inne znaczenie techniczne, jak wskazał @Cardinal w komentarzach do tej odpowiedzi.)

Aby to zobaczyć, zauważ, że rozkład częściowej części można zapisać

p (x; k) = \frac{k}{(x + k) (x + k - 1)} = \frac{1}{1 + (x - 1) / k} - \frac{1}{1 + x / k} .

$p(x;k) = \frac{k}{(x+k)(x+k-1)} = \frac{1}{1 + (x-1)/k} - \frac{1}{1 + x/k}.$

Teleskopy CDF w zamkniętej formie:

\begin{aligned} CDF (ja) = \sum_{x = 1}^{ja} p (x; k) \\ = & [\frac{1}{1 + 0 / k} - \frac{1}{1 + 1 / k}] + [\frac{1}{1 + 1 / k} - \frac{1}{1 + 2) / k}] + \dots + [\frac{1}{1 + (ja - 1) / k} - \frac{1}{1 + ja / k}] \\ = & \frac{1}{1 + 0 / k} + [- \frac{1}{1 + 1 / k} + \frac{1}{1 + 1 / k}] + [- \frac{1}{1 + 2) / k} + \dots + \frac{1}{1 + (ja - 1) / k}] - \frac{1}{1 + ja / k} \\ = & 1 + 0 + \dots + 0 - \frac{1}{1 + ja / k} \\ = & \frac{ja}{ja + k} . \end{aligned}

$\eqalign{ &\text{CDF}(i) = \sum_{x=1}^i p(x;k) \\ = &[\frac{1}{1 + 0/k} - \frac{1}{1 + 1/k}] + [\frac{1}{1 + 1/k} - \frac{1}{1 + 2/k}] + \cdots + [\frac{1}{1 + (i-1)/k} - \frac{1}{1 + i/k}] \\ = &\frac{1}{1 + 0/k} + [- \frac{1}{1 + 1/k} + \frac{1}{1 + 1/k}] + [ - \frac{1}{1 + 2/k} + \cdots + \frac{1}{1 + (i-1)/k}] - \frac{1}{1 + i/k} \\ = &1 + 0 + \cdots + 0 - \frac{1}{1 + i/k} \\ = &\frac{i}{i+k}. }$

(Nawiasem mówiąc, ponieważ można to łatwo odwrócić, natychmiast zapewnia skuteczny sposób generowania losowych zmiennych z tego rozkładu: po prostu oblicz $\lceil \frac{k u}{1 - u} \rceil$ gdzie $u$ jest równomiernie rozpowszechniany $(0,1)$ .)

Zróżnicowanie tego wyrażenia w odniesieniu do $i$ pokazuje, jak CDF można zapisać jako całkę,

CDF (ja) = \frac{ja}{ja + k} = \int_{0}^{ja} \frac{re t / k}{(1 + t / k)^{2)}} = \sum_{x = 1}^{ja} \int_{x - 1}^{x} \frac{re t / k}{(1 + t / k)^{2)}},

$\text{CDF}(i) = \frac{i}{i+k} = \int_0^i \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2} = \sum_{x=1}^i \int_{x-1}^x \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2},$

skąd

p (x; k) = \int_{x - 1}^{x} \frac{re t / k}{(1 + t / k)^{2)}} .

$p(x;k) = \int_{x-1}^x \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2}.$

Ta forma pisania wykazuje $k$ jako parametr skali dla rodziny (ciągłych) rozkładów określonych przez gęstość

fa (ξ) re ξ = (1 + ξ)^{- 2)} re ξ

$f(\xi)d\xi = (1 + \xi)^{-2}\, d\xi$

i pokazuje jak $p(x;k)$ jest dyskretną wersją $f$ (skalowane przez $k$ ) uzyskane przez całkowanie ciągłego prawdopodobieństwa w przedziale od $x-1$ do $x$ . To oczywiście prawo potęgi z wykładnikiem $-2$ . Ta obserwacja daje dostęp do obszernej literatury na temat praw mocy i ich powstawania w nauce, inżynierii i statystyce, co może sugerować wiele odpowiedzi na twoje ostatnie dwa pytania.

Whuber
źródło

(+1) Z funkcji masy prawdopodobieństwa wynika, że

p (x; k) \sim k x^{- 2}

$p(x; k) \sim k x^{-2}$ tak jak

x \to \infty

$x \to \infty$ , co wydaje się wystarczające, aby stwierdzić, że jest to rozkład prawa władzy. W rzeczywistości,

p (x; k) x^{2} / k ↑ 1

$p(x;k) x^2 / k \uparrow 1$ tak jak

x \to \infty

$x \to \infty$ .

kardynał

@cardinal Masz rację, ale ten argument jest ograniczony: pokazuje to tylko

p

$p$ jest asymptotycznie prawem władzy. Obliczenia pokazują, że jest to dokładnie zdyskretowana wersja prawa władzy.

whuber

Nie jestem do końca pewny co do rozróżnienia, które próbujesz narysować. Niestety nie miałem okazji dokładnie o tym pomyśleć, ale wygląda na to, że definiujesz dyskretny rozkład prawa mocy jako taki, który jest dyskretną wersją ciągłego rozkładu prawa mocy. Czy poprawnie interpretuję twój komentarz? W każdym razie, kiedy widzę w literaturze odniesienie do dyskretnych praw mocy, zwykłą definicją wydaje się być słabsza (tj. Asymptotyczna) definicja, której użyłem. (cd.)

kardynał

(Cd.) Z drugiej strony, rozkład Zipfa wydaje się być tak czysty z dyskretnego prawa mocy, jak to możliwe, ale nie sądzę, aby można go było wygenerować jako dyskretyzację ciągłego prawa mocy. Czy źle zinterpretowałem twój zamiar? (Nawiasem mówiąc, powyższy rozwój jest całkiem niezły. Rozpoznanie sumy teleskopowej dla pliku cdf jest świetne, podobnie jak rozpoznanie łatwego schematu próbkowania.)

kardynał

Ok, po nieco więcej śledztwach znalazłem więcej szczegółów.

Jest to szczególny przypadek ciągłej mieszanki rozkładu geometrycznego z Beta, więc można go nazwać rozkładem Beta-geometrycznym . W szczególności, jeśli:

P. \sim b mi t za (1, k)

$P \sim \mathrm{Beta}(1,k)$ i:

X | P. \sim sol mi o m mi t r ja do (P.)

$X|P \sim \mathrm{Geometric}(P)$ to rozkład krańcowy

Y = X + 1

$Y = X+1$ ma ten rozkład. Jako taki jest to szczególny przypadek dwumianowego rozkładu beta-ujemnego .

Ma kilka innych interesujących właściwości:

Ma nieskończony środek
Opisuje swój własny rozkład ogona: if $X$ ma ten rozkład z parametrem $k$ , następnie $X-t | X>t$ ma parametr $t+k$ .

Simon Byrne
źródło

Czy ta dystrybucja ma nazwę? Lub jaki jest proces stochastyczny, który mógłby go wygenerować?

Odpowiedzi: