Co to jest region o największej gęstości (HDR)?

W wnioskowaniu statystycznym wymieniony jest problem 9.6b, „region o największej gęstości (HDR)”. Jednak nie znalazłem definicji tego terminu w książce.

Jednym z podobnych terminów jest najwyższa gęstość boczna (HPD). Ale to nie pasuje do tego kontekstu, ponieważ 9.6b nie wspomina nic o wcześniejszym. W sugerowanym rozwiązaniu mówi tylko, że „oczywiście to HDR”.$c(y)$

Czy też HDR jest regionem zawierającym tryby pliku pdf?

Co to jest region o największej gęstości (HDR)?

Polecam artykuł Roba Hyndmana z 1996 r. „Obliczanie i tworzenie wykresów regionów o największej gęstości” w The American Statistician . Oto definicja HDR zaczerpnięta z tego artykułu:

Niech jest funkcją gęstości zmiennej losowej . Zatem HDR jest podzbiorem przestrzeni próbki tak że gdzie jest największą stałą, na przykład X 100 ( 1 - α ) % R ( f α ) X R ( f α ) = { x : f ( x ) ≥ f α } , f α P ( X ∈ R ( f α ) ) ≥ 1 - α $f(x)$$X$$100(1-\alpha)\%$$R(f_\alpha)$$X$

$$R(f_\alpha) = \{x\colon f(x)\geq f_\alpha\},$$ $f_\alpha$ $$P\big(X\in R(f_\alpha)\big)\geq 1-\alpha.$$

Rycina 1 z tego artykułu ilustruje różnicę między 75% HDR (więc ) i różnymi innymi 75% regionami prawdopodobieństwa dla mieszaniny dwóch normalnych ( jest -tym kwantylem, średnią, a jest standardowe odchylenie gęstości):c q q μ $\alpha=0.25$$c_q$$q$$\mu$$\sigma$

Ideą w jednym wymiarze jest przyjęcie poziomej linii i przesunięcie jej w górę (do ), aż obszar nad nią i pod gęstością . Wtedy HDR jest rzutem na oś tego obszaru.$y=f_\alpha$$1-\alpha$$R_\alpha$$x$

Oczywiście wszystko to działa z dowolną gęstością, niezależnie od tego, czy jest to bayesowski tył czy inne.

Oto link do kodu R, który jest hdrcdepakietem (i do artykułu na temat JSTOR).

Najwyższa gęstość tylna [przedział] jest zasadniczo najkrótszym przedziałem na gęstości tylnej dla określonego poziomu ufności. Region o największej gęstości jest prawdopodobnie tą samą ideą stosowaną do dowolnej dowolnej gęstości, więc niekoniecznie rozkład tylny.

$1-\alpha$$q_{1-\alpha/2 + c}$$q_{\alpha/2 -c}$

$f(\cdot)$$a$$b$$f(a) = f(b)$