Czy mediana jest właściwością „metryczną” czy „topologiczną”?

Przepraszam za niewielkie nadużycie terminologii; Mam nadzieję, że stanie się jasne, co mam na myśli poniżej.

Rozważmy zmienną losową . Zarówno średnią, jak i medianę można scharakteryzować za pomocą kryterium optymalności: średnia to liczba μ, która minimalizuje E ( ( X - μ ) 2 ) , oraz mediana tej liczby, która minimalizuje . W tej perspektywie różnica między średnią a medianą stanowi wybór „metryki” do oceny odchyleń, kwadratu lub wartości bezwzględnej.$X$$\mu$$\mathrm E((X - \mu)^2)$$\mathrm E(|X - \mu|)$

Z drugiej strony, mediana jest liczbą, dla której (przy założeniu ciągłości bezwzględnej), tzn. Ta definicja zależy tylko od możliwości uporządkowania wartości i jest niezależna od jak bardzo się różnią. Konsekwencją tego jest to, że dla każdej ściśle rosnącej funkcji , , co oznacza, że ​​jest „topologiczna” w sensie niezmienność pod przekształceniami „gumowymi”.$\mathrm{Pr}(X \leq \mu) = \frac12$$X$$f(x)$$\mathrm{median}(f(X)) = f(\mathrm{median}(X))$

Teraz zrobiłem matematykę i wiem, że zaczynając od kryterium optymalności, mogę dojść do frac12, więc oba opisują to samo. Ale nadal jestem zdezorientowany, ponieważ moja intuicja mówi mi, że coś, co zależy od „metryki”, nie może prowadzić do właściwości „topologicznej”.$\frac12$

Czy ktoś może dla mnie rozwiązać tę zagadkę?

Wada twojego rozumowania polega na tym, że coś, co zależy od metryki, nie może być właściwością topologiczną.

Weź zwartość przestrzeni metrycznych. Można to zdefiniować za pomocą metryki: zwartość oznacza, że ​​przestrzeń jest kompletna (zależy od metryki) i całkowicie ograniczona (zależy od metryki). Okazuje się jednak, że ta właściwość jest niezmienna w homeomorfizmie i rzeczywiście można ją zdefiniować jedynie w oparciu o topologię (skończone subkryty dowolnej okładki, zwykły sposób).

Innym przykładem są różne teorie homologii. Tylko pojedyncza homologia jest naprawdę topologiczna w swojej definicji. Wszystkie inne, proste, komórkowe, De Rham (kohomologia, ale daj mi trochę luzu) itp., Zależą od dodatkowej struktury, ale okazują się równoważne (i nieco łatwiejsze w pracy).

To pojawia się często w matematyce, czasem najłatwiejszym sposobem na zdefiniowanie czegoś jest pod względem pewnej struktury pomocniczej, a następnie wykazano, że wynikowa istota w rzeczywistości nie zależy w ogóle od wyboru struktury pomocniczej.