Mam linię najlepszego dopasowania. Potrzebuję punktów danych, które nie zmienią mojej linii najlepszego dopasowania

Prowadzę prezentację na temat dopasowania linii. Mam prostą funkcję liniową, . Próbuję uzyskać rozproszone punkty danych, które mogę umieścić na wykresie rozrzutu, który utrzyma moją linię najlepszego dopasowania na tym samym równaniu.$y=1x+b$

Chciałbym nauczyć się tej techniki w R lub Excel - w zależności od tego, co jest łatwiejsze.

Wybierz dowolny $(x_i)$ pod warunkiem, że co najmniej dwa z nich się różnią. Ustaw punkt przecięcia $\beta_0$ i nachylenie $\beta_1$ i zdefiniuj

To dopasowanie jest idealne. Bez zmiany dopasowania można zmodyfikować $y_0$ do $y = y_0 + \varepsilon$ przez dodanie do niego dowolnego wektora błędu $\varepsilon=(\varepsilon_i)$ , pod warunkiem że jest on ortogonalny zarówno do wektora $x = (x_i)$ i wektora stałego $(1,1,\ldots, 1)$ . Łatwym sposobem na uzyskanie takiego błędu jest wybranie dowolnego wektora $e$ i niech $\varepsilon$ będzie resztą po regresji $e$przeciw $x$ . W poniższym kodzie $e$ jest generowany jako zbiór niezależnych losowych wartości normalnych ze średnią $0$ i wspólnym odchyleniem standardowym.

Co więcej, można nawet preselekcji ilości rozproszonego, być może poprzez określenie co $R^2$ powinno być. Niech $\tau^2 = \text{var}(y_i) = \beta_1^2 \text{var}(x_i)$ , przeskaluj te reszty, aby mieć wariancję

Ta metoda jest w pełni ogólna: w ten sposób można utworzyć wszystkie możliwe przykłady (dla danego zestawu $x_i$ ).

Przykłady

Kwartet Anscombe

Możemy z łatwością odtworzyć Kwartet Anscombe czterech jakościowo odrębnych dwuwymiarowych zbiorów danych o takich samych statystykach opisowych (w drugim rzędzie).

Kod jest niezwykle prosty i elastyczny.

set.seed(17)
rho <- 0.816                                             # Common correlation coefficient
x.0 <- 4:14
peak <- 10
n <- length(x.0)

# -- Describe a collection of datasets.
x <- list(x.0, x.0, x.0, c(rep(8, n-1), 19))             # x-values
e <- list(rnorm(n), -(x.0-peak)^2, 1:n==peak, rnorm(n))  # residual patterns
f <- function(x) 3 + x/2                                 # Common regression line

par(mfrow=c(2,2))
xlim <- range(as.vector(x))
ylim <- f(xlim + c(-2,2))
s <- sapply(1:4, function(i) {
  # -- Create data.
  y <- f(x[[i]])                                         # Model values
  sigma <- sqrt(var(y) * (1 / rho^2 - 1))                # Conditional S.D.
  y <- y + sigma * scale(residuals(lm(e[[i]] ~ x[[i]]))) # Observed values

  # -- Plot them and their OLS fit.
  plot(x[[i]], y, xlim=xlim, ylim=ylim, pch=16, col="Orange", xlab="x")
  abline(lm(y ~ x[[i]]), col="Blue")

  # -- Return some regression statistics.
  c(mean(x[[i]]), var(x[[i]]), mean(y), var(y), cor(x[[i]], y), coef(lm(y ~ x[[i]])))
})
# -- Tabulate the regression statistics from all the datasets.
rownames(s) <- c("Mean x", "Var x", "Mean y", "Var y", "Cor(x,y)", "Intercept", "Slope")
t(s)

Dane wyjściowe dają statystyki opisowe drugiego rzędu dla danych $(x,y)$ dla każdego zestawu danych. Wszystkie cztery linie są identyczne. Możesz łatwo utworzyć więcej przykładów, zmieniając x(współrzędne x) i e(wzorce błędów) na początku.

Symulacje

R$y$$\beta=(\beta_0,\beta_1)$$R^2$$0 \le R^2 \le 1$$x$

simulate <- function(x, beta, r.2) {
  sigma <- sqrt(var(x) * beta[2]^2 * (1/r.2 - 1))
  e <- residuals(lm(rnorm(length(x)) ~ x))
  return (y.0 <- beta[1] + beta[2]*x + sigma * scale(e))
}

(Przeniesienie tego do Excela nie byłoby trudne - ale jest to trochę bolesne).

$(x,y)$$60$ $x$$\beta=(1,-1/2)$$1$$-1/2$$R^2 = 0.5$

n <- 60
beta <- c(1,-1/2)
r.2 <- 0.5   # Between 0 and 1

set.seed(17)
x <- rnorm(n)

par(mfrow=c(1,4))
invisible(replicate(4, {
  y <- simulate(x, beta, r.2)
  fit <- lm(y ~ x)
  plot(x, y)
  abline(fit, lwd=2, col="Red")
}))

summary(fit)$R^2$$x_i$