Odniesienia: Ogon odwrotnego pliku cdf

Jestem prawie pewien, że widziałem już następujący wynik w statystykach, ale nie pamiętam gdzie.

Jeżeli jest dodatnią zmienną losową i następnie gdy , gdzie jest CDF . $X$ $\mathbb{E}(X)<\infty$ $\varepsilon F^{-1}(1-\varepsilon) \to 0$ $\varepsilon\to 0^+$ $F$ $X$

Można to łatwo zobaczyć geometrycznie stosując równość i rozważa poziomym odcinkiem w powierzchni pod krzywą podcałkowej . $\mathbb{E}(X)=\int 1-F$ $\varepsilon$ $1-F$

Czy znasz odniesienie do tego wyniku i czy ma on nazwę?

references quantiles cdf moments Stéphane Laurent
źródło

„Ogólnie” jest prostym zastosowaniem integracji przez części. To prawie nie wymaga odniesienia!

whuber

@ whuber Proszę również o referencję na temat pierwszego wyniku.

Stéphane Laurent

Być może widziałeś go, a przynajmniej coś bardzo podobnego, na stats.stackexchange.com/questions/18438 . Wynik ten wynika z podstawienia całki, która znowu jest tak podstawowa, że nie można oczekiwać, że zostanie ona szczególnie zauważona w literaturze lub otrzyma jakąś specjalną nazwę.

whuber

@ whuber Nie widzę

w twoim linku. Ponadto wynik wspomnieć, odnosi się do dyskretnej

też (poprzez

być sekwencją i zastępując

w bardziej ogólnym Statement). Myślę, że pierwszy wynik jest nawet prawdziwy dla ogólnego

ϵ F^{- 1} (1 - ϵ) \to 0

$\epsilon F^{-1}(1-\epsilon) \to 0$

F

$F$

g

$g$

\int

$\int$

\sum

$\sum$

F

$F$

Stéphane Laurent

Uważam, że można tego użyć bez żadnego odniesienia, pod warunkiem, że jest to określone bardziej klasycznie. Z grubsza mówiąc, jest to:

dla

, bezpośrednia konsekwencja:

x \bar{F} (x) \to 0

$x\,\bar{F}(x) \to 0$

x \to \infty

$x \to \infty$

\bar{F} := 1 - F

$\bar{F} := 1 - F$

i dominującej konwergencji. Potrzeba trochę pracy, aby uzyskać instrukcję dla (lewej ciągłej) odwrotnej wartości

w ogólnym przypadku, w którym

może mieć kroki.

x Pr {X > x} \leq E [X 1_{{X > x}}]

$x \,\text{Pr}\{ X > x \} \leq \mathbb{E}[X \,1_{\{X > x\}}]$

F^{- 1}

$F^{-1}$

F

$F$

Yves

Odpowiedzi:

Aby poradzić sobie z „małą pracą” sugerowaną przez Yvesa w komentarzach, geometria sugeruje rygorystyczny iw pełni ogólny dowód.

Jeśli chcesz, możesz zastąpić wszystkie odniesienia do obszarów całkami, a odniesienia do „arbitralnych” zwykłymi argumentami epsilon-delta. Tłumaczenie jest łatwe.

Aby ustawić obraz, niech będzie funkcją przetrwania $G$

G (x) = 1 - F (x) = Pr (X > x) .

$G(x) = 1-F(x) = \Pr(X \gt x).$

Figura działki część . (Zwróć uwagę na skok na wykresie: ten konkretny rozkład nie jest ciągły.) Pokazano duży próg i wybrano małe prawdopodobieństwo (tak, że ). $G$ $T$ $\epsilon \le G(T)$ $G^{-1}(\epsilon)\ge T$

Jesteśmy gotowi do pracy: interesująca nas wartość, (ta, którą chcemy pokazać, zbiega się do zera), to obszar bieli prostokąt o wysokości i podstawie od do . Odwołajmy ten obszar do oczekiwania , ponieważ jedynym dostępnym dla nas założeniem jest to, że oczekiwanie to istnieje i jest skończone. $\epsilon F^{-1}(1-\epsilon) = \epsilon G^{-1}(\epsilon)$ $\epsilon$ $x=0$ $x= G^{-1}(\epsilon)$ $F$

$E_{+}$ $\mathbb{E}_F(X)$ $0$ $\infty$

E_{F} (X) = E_{+} - E_{-} = \int_{0}^{\infty} G (x) d x - \int_{- \infty}^{0} F (x) d x .

$\mathbb{E}_F(X) = E_{+}-E_{-} = \int_0^\infty G(x) dx - \int_{-\infty}^0 F(x) dx.$

$E_{+}$ $T$ $G$ $0$ $T$ $E_{+}$

$G$ $T$ $\epsilon$ $G^{-1}(\epsilon)$ $E_{+}$

$\epsilon$ $0\le x \lt T$ $T$ $T$
$E_{+}$ $T$ $\epsilon$
$x=T$ $x=G^{-1}(\epsilon)$

$\epsilon G^{-1}(\epsilon)$ $\epsilon G^{-1}(\epsilon)\to 0$

Whuber
źródło