Czy ta dyskretna dystrybucja ma nazwę?

Czy ta dyskretna dystrybucja ma nazwę? Dla$i \in 1...N$

$f(i) = \frac{1}{N} \sum_{j = i}^N \frac{1}{j}$

Natrafiłem na tę dystrybucję z następujących: Mam listę pozycji uszeregowanych według funkcji użyteczności. Chcę losowo wybrać jeden z elementów, kierując się na początek listy. Więc najpierw wybieram indeks pomiędzy 1 a równomiernie. Następnie wybieram pozycję między indeksami 1 i . Wierzę, że ten proces powoduje powyższą dystrybucję.j N $N$$j$$N$$j$

Masz dyskretną wersję dystrybucji dziennika negatywnego, to znaczy dystrybucji, której wsparciem jest i której pdf to .$[0, 1]$$f(t) = - \log t$

Aby to zobaczyć, przedefiniuję zmienną losową, aby przyjmowała wartości z zestawu zamiast i wywołać powstały rozkład . Zatem moje twierdzenie jest takie$\{ 0, 1/N, 2/N, \ldots, 1 \}$$\{0, 1, 2, \ldots, N \}$$T$

$$Pr\left( T = \frac{t}{N} \right) \rightarrow - \frac{1}{N} \log \left( \frac{t}{N} \right)$$

as $N, t \rightarrow \infty$ while $\frac{t}{N}$ is held (approximately) constant.

First, a little simulation experiment demonstrating this convergence. Here's a small implementation of a sampler from your distribution:

t_sample <- function(N, size) {
  bounds <- sample(1:N, size=size, replace=TRUE)
  samples <- sapply(bounds, function(t) {sample(1:t, size=1)})
  samples / N
}

Here's a histogram of a large sample taken from your distribution:

ss <- t_sample(100, 200000)
hist(ss, freq=FALSE, breaks=50)

and here's the logarithmic pdf overlaid:

linsp <- 1:100 / 100
lines(linsp, -log(linsp))

To see why this convergence occurs, start with your expression

$$Pr \left( T = \frac{t}{N} \right) = \frac{1}{N} \sum_{j=t}^N \frac{1}{j}$$

and multiply and divide by $N$

$$Pr \left( T = \frac{t}{N} \right) = \frac{1}{N} \sum_{j=t}^N \frac{N}{j} \frac{1}{N}$$

The summation is now a Riemann sum for the function $g(x) = \frac{1}{x}$, integrated from $\frac{t}{N}$ to $1$. That is, for large $N$,

$$Pr \left( T = \frac{t}{N} \right) \approx \frac{1}{N} \int_{\frac{t}{N}}^1 \frac{1}{x} dx = - \frac{1}{N} \log \left( \frac{t}{N} \right)$$

which is the expression I wanted to arrive at.

This appears to be related to the Whitworth distribution. (I don't believe it is the Whitworth distribution, since if I remember right, that's the distribution of a set of ordered values, but it seems to be connected to it, and relies on the same summation-scheme.)

There's some discussion of the Whitworth (and numerous references) in

Anthony Lawrance and Robert Marks, (2008)
"Firm size distributions in an industry with constrained resources,"
Applied Economics, vol. 40, issue 12, pages 1595-1607

(There looks to be a working paper version here)

Also see

Nancy L Geller, (1979)
A test of significance for the Whitworth distribution,
Journal of the American Society for Information Science, Vol.30(4), pp.229-231