Różnica między dwiema zmiennymi losowymi logarytmicznymi

Niech i będą 2 iidrv, gdzie \ log (X_1), \ log (X_2) \ sim N (\ mu, \ sigma) . Chciałbym poznać rozkład dla X_1 - X_2 .X 2 log ( X 1 ) , log ( X 2 ) ∼ N ( μ , σ ) X 1 - X $X_1$$X_2$$\log(X_1),\log(X_2) \sim N(\mu,\sigma)$$X_1 - X_2$

Najlepsze, co mogę zrobić, to wziąć serię Taylora obu i przekonać się, że różnica jest sumą różnicy między dwoma normalnymi wartościami RV i dwoma wartościami kwadratowymi chi w uzupełnieniu do reszty różnicy między resztą wyrażeń. Czy istnieje prostszy sposób na uzyskanie rozkładu różnicy między 2 iid log-normal rv?

To trudny problem. Najpierw pomyślałem o użyciu (jakieś przybliżenie) funkcji generowania momentu w rozkładzie logarytmicznym. To nie działa, jak wyjaśnię. Ale najpierw trochę notacji:

Niech będzie standardową gęstością normalną, a odpowiednią funkcją rozkładu skumulowanego. Przeanalizujemy tylko rozkład logarytmiczny przypadku , który ma funkcję gęstości oraz funkcja skumulowanego rozkładu Załóżmy, że i są niezależnymi zmiennymi losowymi o powyższym rozkładzie logarytmicznym. Interesuje nas rozkład , który jest rozkładem symetrycznym ze średnią zero. Niech będzie funkcją generującą momentΦ l n N ( 0 , 1 ) f ( x ) = $\phi$$\Phi$$lnN(0,1)$F(x)=Φ(lnx)XYD=X-YM(t)=EetXXt∈(-∞,0]DMD(t)=Eet(X-Y)=Eet

$$f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}x} e^{-\frac12 (\ln x)^2}$$ $$F(x) =\Phi(\ln x)$$ $X$$Y$$D=X-Y$$M(t) = \DeclareMathOperator{\E}{E} \E e^{tX}$$X$. Jest on zdefiniowany tylko dla , więc nie jest zdefiniowany w przedziale otwartym zawierającym zero. Funkcja generowania momentu dla to . Zatem funkcja generowania momentu dla jest zdefiniowana tylko dla , więc nie jest bardzo przydatna.$t\in (-\infty,0]$$D$$M_D(t)=\E e^{t(X-Y)}= \E e^{tX} \E e^{-tY}= M(t)M(-t)$$D$$t=0$

Oznacza to, że będziemy potrzebować trochę bardziej bezpośrednie podejście do znajdowania przybliżeń dla podziału . Załóżmy, że , oblicz (a przypadek rozwiązany jest symetrycznie, otrzymujemy ). $D$$t\ge 0$

$$\begin{align} P(D \le t) &= P(X-Y\le t) \\ &= \int_0^\infty P(X-y\le t | Y=y) f(y) \; dy \\ &= \int_0^\infty P(X\le t+y) f(y) \; dy \\ &= \int_0^\infty F(t+y) f(y) \; dy \end{align}$$ $t<0$$P(D\le t)=1-P(D\le |t|)$

To wyrażenie może być użyte do integracji numerycznej lub jako podstawa symulacji. Najpierw test:

 integrate(function(y) plnorm(y)*dlnorm(y), lower=0,  upper=+Inf)
  0.5 with absolute error < 2.3e-06

co jest wyraźnie poprawne. Podsumujmy to w funkcji:

pDIFF  <-  function(t) {
    d  <-  t
    for (tt in seq(along=t)) {
        if (t[tt] >= 0.0) d[tt] <- integrate(function(y) plnorm(y+t[tt])*dlnorm(y),
                                         lower=0.0,  upper=+Inf)$value else
                          d[tt] <- 1-integrate(function(y) plnorm(y+abs(t[tt]))*dlnorm(y),
                                         lower=0.0, upper=+Inf)$value
    }
    return(d)
}

> plot(pDIFF,  from=-5,  to=5)

co daje:

Następnie możemy znaleźć funkcję gęstości, różnicując pod znakiem całki, uzyskując

dDIFF  <-  function(t) {
       d  <- t; t<- abs(t)
       for (tt in seq(along=t)) {
           d[tt]  <-  integrate(function(y) dlnorm(y+t[tt])*dlnorm(y),
                                lower=0.0,  upper=+Inf)$value
       }
       return(d)
}

który możemy przetestować:

> integrate(dDIFF,  lower=-Inf,  upper=+Inf)
0.9999999 with absolute error < 1.3e-05

I wykreślając gęstość otrzymujemy:

plot(dDIFF,  from=-5,  to=5)

Próbowałem też uzyskać jakieś przybliżenie analityczne, ale jak dotąd nie udało się, nie jest to łatwy problem. Ale integracja numeryczna, jak wyżej, zaprogramowana w R jest bardzo szybka na nowoczesnym sprzęcie, więc jest dobrą alternatywą, która prawdopodobnie powinna być używana znacznie więcej.

To nie odpowiada ściśle na twoje pytanie, ale czy nie byłoby łatwiej spojrzeć na stosunek i ? Następnie po prostu docierasz do$X$$Y$

$$\begin{align} \Pr\left(\frac{X}{Y} \leq t\right) &= \Pr\left(\log\left(\frac{X}{Y}\right) \leq \log(t) \right) \\ &= \Pr(\log(X) - \log(Y) \leq \log(t)) \\ &\sim \mathcal{N}(0, 2 \sigma^2) \end{align}$$

W zależności od zastosowania może to służyć Twoim potrzebom.