Nietypowe rozkłady z zerową skośnością i zerową kurtozą?
19
Pytanie głównie teoretyczne. Czy są jakieś przykłady rozkładów niestandardowych, które mają pierwsze cztery momenty równe rozkładom normalnym? Czy mogą istnieć w teorii?
Biorąc pod uwagę nawet mieszaninę dwóch normalnych (5 parametrów - 2 średnie, 2 wariancje i prawdopodobieństwo mieszanki), możesz rozwiązać wiele różnych pierwszych czterech chwil.
Sheridan Grant
Odpowiedzi:
29
Tak, przykłady zerowej i nadmiernej kurtozy zerowej są stosunkowo łatwe do skonstruowania. (Rzeczywiście, przykłady (a) do (d) poniżej również mają średnią-medianę skośności Pearsona 0)
(a) Na przykład w tej odpowiedzi podano przykład, biorąc 50-50 mieszanki zmiennej gamma (którą nazywam X ) i ujemnej drugiej, która ma gęstość, która wygląda następująco:
Wyraźnie wynik jest symetryczny i nie jest normalny. Parametr skali jest tutaj nieistotny, więc możemy sprawić, aby był 1. Staranny wybór parametru kształtu gamma daje wymaganą kurtozę:
Wariancja tej podwójnej gamma ( Y ) jest łatwa do określenia pod względem wariancji gamma, w oparciu o: Var(Y)=E(X2)=Var(X)+E(X)2=α+α2 .
Czwarty centralny moment zmiennej Y jest taki sam jak E(X4) , który dla gamma ( α ) wynosi α(α+1)(α+2)(α+3)
W rezultacie kurtoza jest α(α+1)(α+2)(α+3)α2(α+1)2=(α+2)(α+3)α(α+1) . Jest to3gdy(α+2)(α+3)=3α(α+1), co dzieje się, gdyα=(13−−√+1)/2≈2.303.
(b) Możemy również stworzyć przykład jako mieszankę w skali dwóch mundurów. Niech U1∼ U( - 1 , 1 ) i niech U2)∼ U( - a , a ) , i niech M.= 12)U1+12U2. Oczywiście biorąc pod uwagę, żeMjest symetryczny i ma skończony zasięg, musimy miećE(M)=0; skośność będzie również wynosić 0, a momenty centralne i momenty surowe będą takie same.
Var(M)=E(M2)=12Var(U1)+12Var(U2)=16[1+a2].
Podobnie E(M4)=110(1+a4)więc kurtoza wynosi110(1+a4)[16(1+a2)]2=3.61+a4(1+a2)2
Jeśli wybierzemy a=5+24−−√−−−−−−−√≈3.1463, następniekurtozawynosi 3, a gęstość wygląda następująco:
(c) oto zabawny przykład. Niech Xi∼iidPois(λ) , na i=1,2 .
Niech Y będzie mieszaniną 50-50 X1−−−√ i−X2−−−√
E(Y)=0E(|Y|)E(X1)
Var(Y)=E(Y2)=E(X1)=λ
by symmetry (and the fact that the absolute 3rd moment exists) skew=0
4th moment: E(Y4)=E(X21)=λ+λ2
kurtosis = λ+λ2λ2=1+1/λ
so when λ=12, kurtosis is 3. This is the case illustrated above.
(d) all my examples so far have been symmetric, since symmetric answers are easier to create -- but asymmetric solutions are also possible. Here's a discrete example.
Jak widać, żaden z tych przykładów nie wygląda szczególnie „normalnie”. Łatwo byłoby stworzyć dowolną liczbę zmiennych dyskretnych, ciągłych lub mieszanych o takich samych właściwościach. Podczas gdy większość moich przykładów została zbudowana jako mieszanki, w mieszankach nie ma nic specjalnego , poza tym, że są one często wygodnym sposobem tworzenia rozkładów z właściwościami tak, jak chcesz, trochę jak budowanie z Lego.
Ta odpowiedź zawiera dodatkowe informacje na temat kurtozy, które powinny uczynić niektóre rozważania związane z konstruowaniem innych przykładów nieco jaśniej.
Możesz dopasować więcej momentów w podobny sposób, choć wymaga to więcej wysiłku. Ponieważ jednak istnieje normalna MGF, nie można dopasować wszystkich całkowitych momentów normalnych z pewnym niestandardowym rozkładem, ponieważ oznaczałoby to dopasowanie ich MGF, co sugeruje, że drugi rozkład jest również normalny.
Dobre punkty daje Glen_b. Chciałbym jedynie dodać rozważenie funkcji delty Diraca jako dodatkowego śrutu dla młyna. Jak zauważa Wikipedia: „DDF jest funkcją uogólnioną lub rozkładem na rzeczywistej linii liczbowej, która jest wszędzie zerowa, z wyjątkiem zera, z całką jednego na całej linii rzeczywistej” w konsekwencji, że wszystkie wyższe momenty DDF są zero.
Paul Dirac stosuje to do mechaniki kwantowej w swojej książce The Principles of Quantum Mechanics z 1931 roku, ale jej początki sięgają Fouriera, Lesbesgue, Cauchy i innych. DDF ma również fizyczne analogi w modelowaniu rozkładu, np. Trzask nietoperza uderzającego w baseball.
The question is explicit about making the "first four moment[s] equal to those of [a] normal [distribution]". You haven't a hope of even matching the second central moment when you use a delta distribution.
whuber
3
Perhaps you can give an example where you match moments of a standard normal (mean 0, variance 1, E[(X−μ)3]=E(X3)=0 and E[(X−μ)4]=E(X4)=3). If you do that, it will answer the questions being raised and clarify your point.
Glen_b -Reinstate Monica
3
@A. Donda: Excess kurtosis is the 4th standardized moment about the mean minus 3, i.e. E(X−EX)4/(E(X−EX)2)2, so I don't think you can say it's -3 in the case of Dirac's delta function - rather it's undefined, as the variance is zero.
Scortchi - Reinstate Monica
2
@Mike Hunter: I think the questions in the title & body are equivalent: once you have a distribution with defined skewness & excess kurtosis both equal to zero, matching mean & variance to any Gaussian you want is just shifting & stretching. I stress defined because both skewness & kurtosis are standardized moments, so the Dirac delta function doesn't have them.
Odpowiedzi:
Tak, przykłady zerowej i nadmiernej kurtozy zerowej są stosunkowo łatwe do skonstruowania. (Rzeczywiście, przykłady (a) do (d) poniżej również mają średnią-medianę skośności Pearsona 0)
(a) Na przykład w tej odpowiedzi podano przykład, biorąc 50-50 mieszanki zmiennej gamma (którą nazywamX ) i ujemnej drugiej, która ma gęstość, która wygląda następująco:
Wyraźnie wynik jest symetryczny i nie jest normalny. Parametr skali jest tutaj nieistotny, więc możemy sprawić, aby był 1. Staranny wybór parametru kształtu gamma daje wymaganą kurtozę:
Wariancja tej podwójnej gamma (Y ) jest łatwa do określenia pod względem wariancji gamma, w oparciu o: Var(Y)=E(X2)=Var(X)+E(X)2=α+α2 .
Czwarty centralny moment zmiennejY jest taki sam jak E(X4) , który dla gamma ( α ) wynosi α(α+1)(α+2)(α+3)
W rezultacie kurtoza jestα(α+1)(α+2)(α+3)α2(α+1)2=(α+2)(α+3)α(α+1) . Jest to3 gdy(α+2)(α+3)=3α(α+1) , co dzieje się, gdyα=(13−−√+1)/2≈2.303 .
(b) Możemy również stworzyć przykład jako mieszankę w skali dwóch mundurów. NiechU1∼ U( - 1 , 1 ) i niech U2)∼ U( - a , a ) , i niech M.= 12)U1+12U2 . Oczywiście biorąc pod uwagę, żeM jest symetryczny i ma skończony zasięg, musimy miećE(M)=0 ; skośność będzie również wynosić 0, a momenty centralne i momenty surowe będą takie same.
PodobnieE(M4)=110(1+a4) więc kurtoza wynosi110(1+a4)[16(1+a2)]2=3.61+a4(1+a2)2
Jeśli wybierzemya=5+24−−√−−−−−−−√≈3.1463 , następniekurtozawynosi 3, a gęstość wygląda następująco:
(c) oto zabawny przykład. NiechXi∼iidPois(λ) , na i=1,2 .
NiechY będzie mieszaniną 50-50 X1−−−√ i−X2−−−√
by symmetry (and the fact that the absolute 3rd moment exists) skew=0
4th moment:E(Y4)=E(X21)=λ+λ2
kurtosis =λ+λ2λ2=1+1/λ
so whenλ=12 , kurtosis is 3. This is the case illustrated above.
(d) all my examples so far have been symmetric, since symmetric answers are easier to create -- but asymmetric solutions are also possible. Here's a discrete example.
Jak widać, żaden z tych przykładów nie wygląda szczególnie „normalnie”. Łatwo byłoby stworzyć dowolną liczbę zmiennych dyskretnych, ciągłych lub mieszanych o takich samych właściwościach. Podczas gdy większość moich przykładów została zbudowana jako mieszanki, w mieszankach nie ma nic specjalnego , poza tym, że są one często wygodnym sposobem tworzenia rozkładów z właściwościami tak, jak chcesz, trochę jak budowanie z Lego.
Ta odpowiedź zawiera dodatkowe informacje na temat kurtozy, które powinny uczynić niektóre rozważania związane z konstruowaniem innych przykładów nieco jaśniej.
Możesz dopasować więcej momentów w podobny sposób, choć wymaga to więcej wysiłku. Ponieważ jednak istnieje normalna MGF, nie można dopasować wszystkich całkowitych momentów normalnych z pewnym niestandardowym rozkładem, ponieważ oznaczałoby to dopasowanie ich MGF, co sugeruje, że drugi rozkład jest również normalny.
źródło
Dobre punkty daje Glen_b. Chciałbym jedynie dodać rozważenie funkcji delty Diraca jako dodatkowego śrutu dla młyna. Jak zauważa Wikipedia: „DDF jest funkcją uogólnioną lub rozkładem na rzeczywistej linii liczbowej, która jest wszędzie zerowa, z wyjątkiem zera, z całką jednego na całej linii rzeczywistej” w konsekwencji, że wszystkie wyższe momenty DDF są zero.
Paul Dirac stosuje to do mechaniki kwantowej w swojej książce The Principles of Quantum Mechanics z 1931 roku, ale jej początki sięgają Fouriera, Lesbesgue, Cauchy i innych. DDF ma również fizyczne analogi w modelowaniu rozkładu, np. Trzask nietoperza uderzającego w baseball.
źródło