Nietypowe rozkłady z zerową skośnością i zerową kurtozą?

19

Pytanie głównie teoretyczne. Czy są jakieś przykłady rozkładów niestandardowych, które mają pierwsze cztery momenty równe rozkładom normalnym? Czy mogą istnieć w teorii?

Egor
źródło
Biorąc pod uwagę nawet mieszaninę dwóch normalnych (5 parametrów - 2 średnie, 2 wariancje i prawdopodobieństwo mieszanki), możesz rozwiązać wiele różnych pierwszych czterech chwil.
Sheridan Grant

Odpowiedzi:

29

Tak, przykłady zerowej i nadmiernej kurtozy zerowej są stosunkowo łatwe do skonstruowania. (Rzeczywiście, przykłady (a) do (d) poniżej również mają średnią-medianę skośności Pearsona 0)

(a) Na przykład w tej odpowiedzi podano przykład, biorąc 50-50 mieszanki zmiennej gamma (którą nazywam X ) i ujemnej drugiej, która ma gęstość, która wygląda następująco:

dgam 2.3

Wyraźnie wynik jest symetryczny i nie jest normalny. Parametr skali jest tutaj nieistotny, więc możemy sprawić, aby był 1. Staranny wybór parametru kształtu gamma daje wymaganą kurtozę:

  1. Wariancja tej podwójnej gamma ( Y ) jest łatwa do określenia pod względem wariancji gamma, w oparciu o: Var(Y)=E(X2)=Var(X)+E(X)2=α+α2 .

  2. Czwarty centralny moment zmiennej Y jest taki sam jak E(X4) , który dla gamma ( α ) wynosi α(α+1)(α+2)(α+3)

W rezultacie kurtoza jest α(α+1)(α+2)(α+3)α2(α+1)2=(α+2)(α+3)α(α+1) . Jest to3)gdy(α+2)(α+3)=3α(α+1), co dzieje się, gdyα=(13+1)/22.303.


(b) Możemy również stworzyć przykład jako mieszankę w skali dwóch mundurów. Niech U1U(-1,1) i niech U2)U(-za,za) , i niech M=12U1+12U2. Oczywiście biorąc pod uwagę, żeMjest symetryczny i ma skończony zasięg, musimy miećE(M)=0; skośność będzie również wynosić 0, a momenty centralne i momenty surowe będą takie same.

Var(M)=E(M2)=12Var(U1)+12Var(U2)=16[1+a2].

Podobnie E(M4)=110(1+a4)więc kurtoza wynosi110(1+a4)[16(1+a2)]2=3.61+a4(1+a2)2

Jeśli wybierzemy a=5+243.1463, następniekurtozawynosi 3, a gęstość wygląda następująco:

wprowadź opis zdjęcia tutaj


(c) oto zabawny przykład. Niech XiiidPois(λ) , na i=1,2 .

Niech Y będzie mieszaniną 50-50 X1 iX2

wprowadź opis zdjęcia tutaj

E(Y)=0E(|Y|)E(X1)

Var(Y)=E(Y2)=E(X1)=λ

by symmetry (and the fact that the absolute 3rd moment exists) skew=0

4th moment: E(Y4)=E(X12)=λ+λ2

kurtosis = λ+λ2λ2=1+1/λ

so when λ=12, kurtosis is 3. This is the case illustrated above.


(d) all my examples so far have been symmetric, since symmetric answers are easier to create -- but asymmetric solutions are also possible. Here's a discrete example.

enter image description here


Jak widać, żaden z tych przykładów nie wygląda szczególnie „normalnie”. Łatwo byłoby stworzyć dowolną liczbę zmiennych dyskretnych, ciągłych lub mieszanych o takich samych właściwościach. Podczas gdy większość moich przykładów została zbudowana jako mieszanki, w mieszankach nie ma nic specjalnego , poza tym, że są one często wygodnym sposobem tworzenia rozkładów z właściwościami tak, jak chcesz, trochę jak budowanie z Lego.

Ta odpowiedź zawiera dodatkowe informacje na temat kurtozy, które powinny uczynić niektóre rozważania związane z konstruowaniem innych przykładów nieco jaśniej.


Możesz dopasować więcej momentów w podobny sposób, choć wymaga to więcej wysiłku. Ponieważ jednak istnieje normalna MGF, nie można dopasować wszystkich całkowitych momentów normalnych z pewnym niestandardowym rozkładem, ponieważ oznaczałoby to dopasowanie ich MGF, co sugeruje, że drugi rozkład jest również normalny.

Glen_b - Przywróć Monikę
źródło
-4

Dobre punkty daje Glen_b. Chciałbym jedynie dodać rozważenie funkcji delty Diraca jako dodatkowego śrutu dla młyna. Jak zauważa Wikipedia: „DDF jest funkcją uogólnioną lub rozkładem na rzeczywistej linii liczbowej, która jest wszędzie zerowa, z wyjątkiem zera, z całką jednego na całej linii rzeczywistej” w konsekwencji, że wszystkie wyższe momenty DDF są zero.

Paul Dirac stosuje to do mechaniki kwantowej w swojej książce The Principles of Quantum Mechanics z 1931 roku, ale jej początki sięgają Fouriera, Lesbesgue, Cauchy i innych. DDF ma również fizyczne analogi w modelowaniu rozkładu, np. Trzask nietoperza uderzającego w baseball.

Mike Hunter
źródło
1
What has this to do with the question?
kjetil b halvorsen
2
The question is explicit about making the "first four moment[s] equal to those of [a] normal [distribution]". You haven't a hope of even matching the second central moment when you use a delta distribution.
whuber
3
Perhaps you can give an example where you match moments of a standard normal (mean 0, variance 1, E[(Xμ)3]=E(X3)=0 and E[(Xμ)4]=E(X4)=3). If you do that, it will answer the questions being raised and clarify your point.
Glen_b -Reinstate Monica
3
@A. Donda: Excess kurtosis is the 4th standardized moment about the mean minus 3, i.e. E(XEX)4/(E(XEX)2)2, so I don't think you can say it's -3 in the case of Dirac's delta function - rather it's undefined, as the variance is zero.
Scortchi - Reinstate Monica
2
@Mike Hunter: I think the questions in the title & body are equivalent: once you have a distribution with defined skewness & excess kurtosis both equal to zero, matching mean & variance to any Gaussian you want is just shifting & stretching. I stress defined because both skewness & kurtosis are standardized moments, so the Dirac delta function doesn't have them.
Scortchi - Reinstate Monica