Jeffreys Prior dla rozkładu normalnego z nieznaną średnią i wariancją

12

Czytam wcześniejsze rozkłady i wcześniej obliczyłem Jeffreysa dla próbki normalnie rozmieszczonych zmiennych losowych o nieznanej średniej i nieznanej wariancji. Zgodnie z moimi obliczeniami, dla Jeffreysa przedtem obowiązuje: Tutaj matrycą informacji Fishera.ja

p(μ,σ2)=det(I)=det(1/σ2001/(2σ4))=12σ61σ3.
I

Przeczytałem jednak również publikacje i dokumenty, które je stwierdzają

  • p(μ,σ2)1/σ2 patrz sekcja 2.2 w Kass i Wassermann (1996) .
  • p(μ,σ2)1/σ4 patrz strona 25 w Yang i Berger (1998)

jak wcześniej Jeffreys w przypadku rozkładu normalnego z nieznaną średnią i wariancją. Co to jest „faktyczny” Jeffreys?

Nussig
źródło

Odpowiedzi:

7

Myślę, że ta rozbieżność jest wyjaśniona przez to, czy autorzy uważają gęstość ponad czy gęstość ponad . Obsługując tę ​​interpretację, dokładną rzeczą, którą piszą Kass i Wassermann, jest podczas gdy Yang i Berger piszą σ 2 π ( μ , σ ) = 1 / σ 2 , π ( μ , σ 2 ) = 1 / σ 4 .σσ2

π(μ,σ)=1/σ2,
π(μ,σ2)=1/σ4.
A. Donda
źródło
2
Dzięki, przeoczyłem to. Jednak nadal nie tłumaczy to rozbieżności między i . 1 / σ 41/σ31/σ4
Nussig,
3
W rzeczywistości posiadanie przed jest tym samym, co posiadanie przed , ponieważ właściwość reparametrization Jeffreys przed: z jakobianską macierzą , tj. . π(μ,σ)=1/σ2π(μ,σ2)=1/σ3
π(μ,σ)=π(μ,σ2)det(Jf)1σ32σ1σ2
Jff:(μ,σ)(μ,σ2)
Jf=(1002σ)
Nussig,
3
@Nussig, sprawdziłem obliczenia i myślę, że masz rację, przybywając do . Masz również rację, że reparametryzacja wynosi tylko czynnik . Biorąc to pod uwagę, twoje obliczenia są zgodne z Kass i Wassermannem i mogę tylko zgadywać, że Yang i Berger popełnili błąd. Ma to również sens, ponieważ ten pierwszy jest regularnie recenzowanym czasopismem, a drugi jest szkicem pewnego rodzaju zbioru formuł. 1/σ31/σ
A. Donda,
3
Kass i Wassermann zauważają również, że Jeffreys wprowadził zmodyfikowaną regułę, zgodnie z którą parametry lokalizacji i skali należy traktować osobno. Prowadzi to do a zatem , ale nadal nie do . π ( μ , σ 2 ) = 1 / σ 2 π ( μ , σ 2 ) = 1 / σ 4π(μ,σ)=1/σπ(μ,σ2)=1/σ2π(μ,σ2)=1/σ4
A. Donda,
2
Jim Berger jest nadal aktywnym naukowcem, więc dla pewności możesz sprawdzić bezpośrednio z nim: stat.duke.edu/~berger
A. Donda
4

Istniejące odpowiedzi już dobrze odpowiadają na pierwotne pytanie. Jako fizyk chciałbym po prostu dodać do tej dyskusji argument wymiaru. Jeśli weźmiesz pod uwagę i do opisu rozkładu zmiennej losowej w rzeczywistej przestrzeni 1D i mierzonej w metrach, mają one wymiary i . Aby mieć fizycznie poprawny przeor, potrzebujesz odpowiednich wymiarów, tzn. Jedyne możliwości możliwe fizycznie w nieparametrycznym przeorze to: i .σ 2 [ μ ] m [ σ 2 ] m 2 σ π ( μ , σ ) 1 / σ 2 π ( μ , σ 2 ) 1 / σ 3μσ2[μ]m[σ2]m2σ

π(μ,σ)1/σ2
π(μ,σ2)1/σ3
Dr_Zaszuś
źródło
σ3
3

1σ31σ2log(σ)

Jorne Biccler
źródło
1
log(σ)χ2
(μ,σ2)|DNχ1(X¯,n,n,1n(XiX¯)2).
1/σ2χ2
1
χ2(X¯,n,n1,s2)σ2χ2