Jaki jest błąd standardowy odchylenia standardowego próbki?

Czytam stamtąd, że błąd standardowy wariancji próbki jest

S E_{s^{2}} = \sqrt{\frac{2 σ^{4}}{N - 1}}

$SE_{s^2} = \sqrt{\frac{2 \sigma^4}{N-1}}$

Kusiłbym się zgadnąć i powiedzieć, że ale nie jestem pewien. $SE_{s} = \sqrt{SE_{s^2}}$

sampling standard-deviation standard-error Remi.b
źródło

Masz na myśli standardowy błąd wariancji próbki / odchylenie standardowe? Jeśli tak, czy masz na myśli jakąś konkretną dystrybucję?

Alecos Papadopoulos,

Tak, o to mi chodziło. Zredagowałem swój post w reakcji na twój komentarz dzięki. Dziwię się, że pytasz, jaką dystrybucję mam na myśli. Nie spodziewałbym się, że to ma znaczenie. Nie, nie mam na myśli żadnego konkretnego podziału. Forma populacji, którą pobiera moja próbka, prawdopodobnie nie jest normalna. Prawdopodobnie jest lekko wypaczony i ma bardzo długie ogony.

Remi.b

Asymptotycznie „nie ma znaczenia”. W skończonych próbkach na pewno tak. Aby znaleźć odpowiedź asymptotyczną, patrz stats.stackexchange.com/a/105338/28746

Alecos Papadopoulos

A następnie pytasz o błąd standardowy błędu standardowego błędu standardowego ...

kjetil b halvorsen

@Kjetil Twoja myśl jest zabawna. Należy jednak pamiętać, że zdefiniowana tutaj SE nie jest zmienną losową; nie ma standardowego błędu. Często szacuje się SE za pomocą oszacowania

i często - przez konwencjonalne nadużycie języka - wciąż nazywa to oszacowaniem SE „błędem standardowym”. Jako taka jest rzeczywiście zmienną losową i będzie miała standardowy błąd. Jestem pewien, że zdajesz sobie sprawę z tego rozróżnienia (i miałeś to na uwadze, kiedy pisałeś swój komentarz), ale chcę to podkreślić, aby ludzie nie zrozumieli oryginalnego pytania w wyniku rozważenia twojego komentarza.

σ^{4}

$\sigma^4$

whuber

Odpowiedzi:

Niech . Następnie wzór na SE z jest następujący: $\mu_4 = E(X-\mu)^4$ $s^2$

Jest to dokładna formuła, ważna dla dowolnej wielkości próbki i rozkładu, i została udowodniona na stronie 438, Rao, 1973, zakładając, że

s e (s^{2}) = \sqrt{\frac{1}{n} (μ_{4} - \frac{n - 3}{n - 1} σ^{4})}

$se(s^2) = \sqrt{ \frac{1}{n}\left(\mu_4 -\frac{n-3}{n-1} \sigma^4\right)}$

jest skończona. Wzór podany w pytaniu dotyczy tylko danych normalnie dystrybuowanych.

μ_{4}

$\mu_4$

Niech . Chcesz znaleźć SE , gdzie $\hat{\theta} = s^2$ $g(\hat{\theta})$ . $g(u) = \sqrt{u}$

@Alecos Papadopoulos nie ma ogólnej dokładnej formuły dla tego standardowego błędu. Można jednak wprowadzić przybliżony błąd standardowy (duża próbka) za pomocą metody delta. (Zobacz wpis w Wikipedii dotyczący „metody delta”).

Oto, jak to ujął Rao, 1973, 6.a.2.4. Podaję wskaźniki wartości bezwzględnej, które błędnie pominął.

s e (g (\hat{θ})) \approx | g^{'} (\hat{θ}) | \times s e (\hat{θ})

$se(g(\hat{\theta})) \approx |g'(\hat\theta)|\times se(\hat{\theta})$

g^{'}

$g'$

$g$

g^{'} (u) = \frac{1}{2 u^{1 / 2}}

$g'(u) = \frac{1}{2\thinspace u^{1/2}}$

Więc:

s e (s) \approx \frac{1}{2 σ} s e (s^{2})

$se(s)\approx \frac{1}{2 \sigma} se(s^2)$

W praktyce szacowałbym standardowy błąd przez bootstrap lub jackknife.

Odniesienie:

CR Rao (1973) Liniowe wnioskowanie statystyczne i jego zastosowania 2nd Ed, John Wiley & Sons, NY

Steve Samuels
źródło

+1 Miło jest widzieć te wyniki tak jasno przedstawione i wyjaśnione. Chociaż nie mam przed sobą Rao 1973, spodziewałbym się, że w jego formule powinien być mnożnik

| g^{'} (\hat{θ}) |

$|g^\prime(\hat\theta)|$

Dzięki. Masz rację co do wartości bezwzględnej. Rao ominął to (równanie 6.a.2.4 w wydaniach z 1968 i 1973 r.). Dowodem zastosowania metody delta jest tak naprawdę wariancja, gdzie mnożnik wynosi [g '] ^ 2.

Steve Samuels,

co to jest bootstrap i scyzoryk?

alpha_989,

@ alpha_989 W bootstrap i jackknife metody wykorzystują resampling w celu precyzji oszacowania. Są przydatne, ponieważ nie trzeba ręcznie propagować błędów.

Ben Jones