Wypukłość funkcji PDF i CDF standardowej normalnej zmiennej losowej

10

Proszę przedstawić dowód, że jest wypukły . W tym przypadku i są odpowiednio standardowymi normalnymi plikami PDF i CDF.Q(x)=x2+xϕ(x)Φ(x)x>0ϕΦ

SPRAWDZONE KROKI

1) METODA OBLICZEŃ

Próbowałem metody rachunku różniczkowego i mam wzór na drugą pochodną, ​​ale nie jestem w stanie wykazać, że jest ona dodatnia . Daj mi znać, jeśli potrzebujesz dodatkowych informacji.x>0

Na koniec

Let Q(x)=x2+xϕ(x)Φ(x)
Q(x)x=2x+x[xϕ(x)Φ(x){ϕ(x)Φ(x)}2]+ϕ(x)Φ(x)
Q(x)x|x=0=ϕ(0)Φ(0)>0
2Q(x)x2=2+xϕ(x)[Φ2(x)+x2Φ2(x)+3xϕ(x)Φ(x)+2ϕ2(x)Φ3(x)]+2[xϕ(x)Φ(x){ϕ(x)Φ(x)}2]
=2+ϕ(x)[x3Φ2(x)+3x2ϕ(x)Φ(x)+2xϕ2(x)3xΦ2(x)2ϕ(x)Φ(x)Φ3(x)]
=[2Φ3(x)+x3Φ2(x)ϕ(x)+3x2ϕ2(x)Φ(x)+2xϕ3(x)3xΦ2(x)ϕ(x)2ϕ2(x)Φ(x)Φ3(x)]
Let, K(x)=2Φ3(x)+2xϕ3(x)+Φ2(x)ϕ(x)x[x23]+ϕ2(x)Φ(x)[3x22]
K(0)=1412π>0
Dla x3,K(x)>0 . Dla x(0,3) ,
K(x)=6Φ2(x)ϕ(x)+2ϕ3(x)6x2ϕ3(x)+2Φ(x)ϕ2(x)[x33x]Φ2(x)ϕ(x)[x43x2]+Φ2(x)ϕ(x)[3x23]2ϕ2(x)Φ(x)[3x32x]+ϕ3(x)[3x22]+ϕ2(x)Φ(x)6x
K(x)=6Φ2(x)ϕ(x)3Φ2(x)ϕ(x)+2ϕ3(x)2ϕ3(x)+6xΦ(x)ϕ2(x)6xΦ(x)ϕ2(x)+3x2Φ2(x)ϕ(x)+3x2Φ2(x)ϕ(x)+2x3Φ(x)ϕ2(x)6x3Φ(x)ϕ2(x)+3x2ϕ3(x)6x2ϕ3(x)+4xΦ(x)ϕ2(x)x4Φ2(x)ϕ(x)
=3Φ2(x)ϕ(x)+6x2Φ2(x)ϕ(x)+4xΦ(x)ϕ2(x)3x2ϕ3(x)x4Φ2(x)ϕ(x)4x3Φ(x)ϕ2(x)
=ϕ(x)[3Φ2(x)+x{6xΦ2(x)3xϕ2(x)x3Φ2(x)+4Φ(x)ϕ(x)[1x2]}]

2) METODA GRAFICZNA / NUMERYCZNA

Mogłem również zobaczyć to numerycznie i wizualnie, wykreślając wykresy, jak pokazano poniżej; ale dobrze byłoby mieć odpowiedni dowód.

wprowadź opis zdjęcia tutaj

texmex
źródło

Odpowiedzi:

9

Pokażmy, że druga pochodna jest dodatnia dla . Najpierw musimy wiedzieć, jak odróżnić i .Qx0Φϕ

Zgodnie z definicją,

ddxΦ(x)=ϕ(x)=12πexp(x2/2).
Zróżnicowanie raz jeszcze daje

ddxϕ(x)=xϕ(x).

Zastosowanie tego wyniku do innych instrumentów pochodnych

d2dx2ϕ(x)=(1+x2)ϕ(x).

Korzystając z tych wyników, wraz ze zwykłymi regułami różnicowania iloczynu i ilorazu, znajdujemy licznik drugiej pochodnej jest sumą sześciu składników. (Ten wynik uzyskano w połowie pytania.) Wygodnie jest podzielić terminy na trzy grupy:

Φ(x)3d2dx2Q(x)=2xϕ(x)3+3x2ϕ(x)2Φ(x)+x3ϕ(x)Φ(x)2+Φ(x)(2ϕ(x)23xϕ(x)Φ(x)+2Φ(x)2).

Ponieważ jest gęstością prawdopodobieństwa, jest nieujemna, podobnie jak funkcja rozkładu . Zatem tylko trzeci termin może być ujemny, gdy . Jego znak jest taki sam jak drugiego czynnika,ϕΦx0

R(x)=2ϕ(x)23xϕ(x)Φ(x)+2Φ(x)2.

Istnieje wiele sposobów pokazania, że ​​ten czynnik nie może być ujemny. Należy to zauważyć

R(0)=2ϕ(0)+2Φ(0)=12π>0.

Różnicowanie - przy użyciu tych samych prostych technik jak poprzednio - daje

ddxR(x)=ϕ(x)(xϕ(x)+(1+3x2)Φ(x))

co jest wyraźnie dodatnie dla . Dlatego jest funkcją rosnącą w przedziale . Jego minimum musi wynosić , co potwierdza dla wszystkich .x0R(x)[0,)R(0)>0R(x)>0x0

Wykazaliśmy, że ma dodatnią drugą pochodną dla , QED .Qx0

Whuber
źródło
1
Dzięki @whuber, co za doskonała odpowiedź. Bardzo doceniam twoją pomoc. Próbowałem czegoś podobnego i chciałem zmiażdżyć negatywne warunki, używając pozytywnych warunków, ale jeszcze nie wypróbowałem kombinacji, którą wypróbowałeś powyżej. Byłem szczęśliwy, widząc twój wynik.
texmex