Pokażmy, że druga pochodna jest dodatnia dla . Najpierw musimy wiedzieć, jak odróżnić i .Qx≥0Φϕ
Zgodnie z definicją,
ddxΦ(x)=ϕ(x)=12π−−√exp(−x2/2).
Zróżnicowanie raz jeszcze daje
ddxϕ(x)=−xϕ(x).
Zastosowanie tego wyniku do innych instrumentów pochodnych
d2dx2ϕ(x)=(−1+x2)ϕ(x).
Korzystając z tych wyników, wraz ze zwykłymi regułami różnicowania iloczynu i ilorazu, znajdujemy licznik drugiej pochodnej jest sumą sześciu składników. (Ten wynik uzyskano w połowie pytania.) Wygodnie jest podzielić terminy na trzy grupy:
Φ(x)3d2dx2Q(x)=2xϕ(x)3+3x2ϕ(x)2Φ(x)+x3ϕ(x)Φ(x)2+Φ(x)(−2ϕ(x)2−3xϕ(x)Φ(x)+2Φ(x)2).
Ponieważ jest gęstością prawdopodobieństwa, jest nieujemna, podobnie jak funkcja rozkładu . Zatem tylko trzeci termin może być ujemny, gdy . Jego znak jest taki sam jak drugiego czynnika,ϕΦx≥0
R(x)=−2ϕ(x)2−3xϕ(x)Φ(x)+2Φ(x)2.
Istnieje wiele sposobów pokazania, że ten czynnik nie może być ujemny. Należy to zauważyć
R(0)=−2ϕ(0)+2Φ(0)=1−2π−−√>0.
Różnicowanie - przy użyciu tych samych prostych technik jak poprzednio - daje
ddxR(x)=ϕ(x)(xϕ(x)+(1+3x2)Φ(x))
co jest wyraźnie dodatnie dla . Dlatego jest funkcją rosnącą w przedziale . Jego minimum musi wynosić , co potwierdza dla wszystkich .x≥0R(x)[0,∞)R(0)>0R(x)>0x≥0
Wykazaliśmy, że ma dodatnią drugą pochodną dla , QED .Qx≥0