Można znaleźć wszystko tutaj . Oto krótka odpowiedź.
Niech i σ 2 będą średnią i wariancją zainteresowania; chcesz oszacować σ 2 na podstawie próbki wielkości n .μσ2σ2n
Powiedzmy, że używasz następującego estymatora:
S2=1n∑ni=1(Xi−X¯)2 ,
gdzie jest estymatoremμX¯=1n∑ni=1Xiμ .
Nietrudno (patrz przypis) zobaczyć, że E[S2]=n−1nσ2 .
Ponieważ , estymator S 2E[S2]≠σ2S2 jest uważany za stronniczy.
Zauważ jednak, że . Dlatego ˜ S 2=nE[nn−1S2]=σ2jest obiektywnym estymatoremσ2.S~2=nn−1S2σ2
Notatka
Zacznij od napisania a następnie rozwiń produkt ...(Xi−X¯)2=((Xi−μ)+(μ−X¯))2
Edytuj, aby uwzględnić swoje komentarze
Oczekiwana wartość nie daje σ 2 (a zatem S 2 jest tendencyjna), ale okazuje się, że można przekształcić S 2 w ˜ S 2, tak że oczekiwanie daje σ 2S2σ2S2S2S~2σ2 .
W praktyce często preferuje się pracę z zamiast S 2 . Ale jeśli n jest wystarczająco duże, nie jest to duży problem, ponieważ nS~2S2n.nn - 1≈ 1
Uwaga Zauważ, że bezstronność jest własnością estymatora, a nie oczekiwań, jak napisałeś.
Ta odpowiedź wyjaśnia odpowiedź ocram. Głównym powodem (i powszechnym nieporozumieniem) dla jest to, że S 2 używa oszacowania ˉ Xmi[ S2)] ≠ σ2) S.2) X¯ które samo jest oszacowane na podstawie danych.
Jeśli przejdziesz przez derywację, zobaczysz, że wariancja tego oszacowania jest dokładnie tym, co daje dodatkowe - σ 2mi[ ( X¯- μ )2)] termin- σ2)n
źródło
Wyjaśnienie podane przez @Ocram jest świetne. Aby wyjaśnić to, co powiedział słowami: jeśli obliczymy dzieląc tylko przez n , (co jest intuicyjne) nasze oszacowanie s 2 będzie niedoszacowane. Aby to zrekompensować, dzielimy przez n - 1s2) n s2) n - 1 .
Oto ćwiczenie: oblicz dyskretne prawdopodobieństwo z 2 wynikami, powiedzmy i P ( 6 ) = 0,75 . Znajdź μ i σ dla tego rozkładu. Obliczyć μ i σ dla średniej próbki, gdy n = 3 . Oblicz wszystkie możliwe próbki o wielkości n = 3 . Oblicz s 2 dla tych próbek i zastosuj odpowiednie częstotliwości.P.( 2 ) = 0,25 P.( 6 ) = 0,75 μ σ μ σ n = 3 n = 3 s2)
Czasami musisz ubrudzić sobie ręce.
źródło
Zasadniczo użycie „n” w mianowniku daje mniejsze wartości niż wariancja populacji, którą chcemy oszacować. Dzieje się tak zwłaszcza, gdy pobierane są małe próbki. W języku statystyki mówimy, że wariancja próby zapewnia „tendencyjne” oszacowanie wariancji populacji i należy ją uczynić „bezstronną”.
Ten film wideo odpowiednio odpowie na każdą część twojego pytania.
https://www.youtube.com/watch?v=xslIhnquFoE
źródło