Kiedy zbliżają się szeregi Taylora do oczekiwań (całych) funkcji?

Przyjmij oczekiwanie na postać $E(f(X))$ dla pewnej zmiennej losowej jednowymiarowej $X$ i całej funkcji $f(\cdot)$ (tzn. Przedział zbieżności to cała linia rzeczywista)

$X$ $\mu \equiv E(x)$

E (f (x)) = E (f (μ) + f^{'} (μ) (x - μ) + f^{″} (μ) \frac{(x - μ)^{2}}{2!} + \dots)

$E(f(x)) = E\left(f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} +\ldots\right)$

Skróć tę serię,

= f (μ) + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{f^{(n)} (μ)}{n!} E [(x - μ)^{n}]

$=f(\mu) + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$

E_{N} (f (x)) = f (μ) + \sum_{n = 2}^{N} \frac{f^{(n)} (μ)}{n!} E [(x - μ)^{n}]

$E_N(f(x)) = f(\mu) + \sum_{n=2}^{N} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$

Moje pytanie brzmi: w jakich warunkach zmiennej losowej (i czegokolwiek dodatkowego na ) przybliżenie oczekiwań zbiega się w miarę dodawania terminów (tj. ). $f(\cdot)$ $\lim\limits_{N\to\infty}E_N(f(x)) = E(f(x))$

Ponieważ wydaje się, że w moim przypadku nie jest zbieżna (zmienna losowa Poissona ), czy istnieją jakieś inne sztuczki pozwalające znaleźć przybliżone oczekiwania z liczbami całkowitymi, gdy warunki te zawiodą? $f(x) = x^{\alpha}$

expected-value approximation jlperla
źródło

patrz tutaj: stats.stackexchange.com/questions/70490/...

Jonathan

@Jonathan Dziękuję. Zobacz moje zmiany teraz, gdy stały się wyraźniejsze. Bardzo pomocny, choć nie mogłem tego całkiem złamać. Z tego wynika, że warunkiem wystarczającym do tego jest to, że moja zmienna losowa jest silnie skoncentrowana? Chociaż mam problem z wyłuskaniem dokładnie tego, jak użyć Nierówności Hoeffdinga itp. W celu porównania z tymi notatkami.

jlperla

Co masz na myśli „zmienna losowa Poissona

”? Czy to jest jeden czy dwa przypadki i co to jest pdf?

f (x) = x^{α}

$f(x)=x^α$

Carl

@Carl to kilka lat temu, ale jeśli dobrze pamiętam, była zmienna

jakiegoś

z PDF z en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution . To

było funkcją, którą przejmowałem oczekiwania. tj.

x \sim P o i s s o n (λ)

$x \sim Poisson(\lambda)$

λ

$\lambda$

f (x)

$f(x)$

E (f (x))

$E(f(x))$

jlperla

Nie jestem pewien, o co pytasz. Jak o tym wyższe momenty

z rozkładu Poissona o pochodzeniu są Touchard wielomianów

gdzie {} szelki oznaczają liczby Stirlinga drugiego rodzaju?

m_{k}

$m_k$

λ

$\lambda$

m_{k} = \sum_{ja = 0}^{k} λ^{ja} {\begin{matrix} k \\ ja \end{matrix}},

$m_k = \sum_{i=0}^k \lambda^i \left\{\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}\right\},$

Carl

Odpowiedzi:

$f$

y_{n} = fa (μ) + {fa}^{'} (μ) (x - μ) + {fa}^{″} (μ) \frac{(x - μ)^{2)}}{2)!} + \dots + {fa}^{(n)} (μ) \frac{(x - μ)^{n}}{n!}

$y_n = f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} + \ldots + f^{(n)}(\mu)\frac{(x - \mu)^n}{n!}$

f (x)

$f(x)$

mi [fa (x)] = mi [lim_{n \to \infty} y_{n}] = lim_{n \to \infty} mi [y_{n}],

$E[f(x)] = E [ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n] = \lim_{n \rightarrow \infty} E [y_n],$

| y_{n} | \leq y

$|y_n| \leq y$

y

$y$

E [y] < \infty

$E[y] < \infty$

y = \sum_{n \geq 0} | {fa}^{(n)} (μ) | \frac{| x - μ |^{n}}{n!} < \infty za . s .

$y = \sum_{n \geq 0} |f^{(n)}(\mu)| \, \frac{|x - \mu|^n}{n!} < \infty \;\; a.s.$

mi [y] < \infty .

$E[y] < \infty.$

$f(x)=x^{\alpha}$ $\alpha \notin\mathbb{Z}_+$

Michał
źródło

-1

Przybliżenie zbiegnie się, jeśli funkcja f (x) dopuszcza ekspansję szeregu mocy, tzn. Istnieją wszystkie pochodne. Zostanie to również w pełni osiągnięte, jeśli instrumenty pochodne o określonym progu i wyższym będą równe zero. Możesz odwołać się do Populisa [3-4] oraz Starka i Woodsa [4].

E. Mehrban
źródło

„Zostanie to w pełni osiągnięte, jeśli instrumenty pochodne o określonym progu i wyższym będą równe zero”. Jeśli pochodne istnieją i są równe zeru, czy nie jest to inny sposób na określenie wielomianu?

Accumumulation

e^{- 1 / x^{2}} .

$e^{-1/x^2}.$

1 / (1 - x) .

$1/(1-x).$

X

$X$

1 / (1 - X) = 1 + X + X^{2)} + \dots + X^{n} + \dots .

$1/(1-X)=1+X+X^2+\cdots+X^n+\cdots.$

E (X^{n})

$E(X^n)$