Czy powinienem uruchamiać osobne regresje dla każdej społeczności, czy może społeczność może po prostu być zmienną kontrolującą w modelu zagregowanym?

Korzystam z modelu OLS z ciągłą zmienną indeksu aktywów jako DV. Moje dane są agregowane z trzech podobnych społeczności znajdujących się blisko siebie. Mimo to uważałem, że ważne jest, aby używać społeczności jako zmiennej kontrolującej. Jak się okazuje, społeczność jest znacząca na poziomie 1% (wynik t -4,52). Społeczność jest zmienną nominalną / kategorialną zakodowaną jako 1,2,3 dla 1 z 3 różnych społeczności.

Moje pytanie brzmi, czy ten wysoki stopień znaczenia oznacza, że ​​powinienem robić regresje w społecznościach indywidualnie, a nie jako agregację. W przeciwnym razie, czy używanie społeczności jako zmiennej sterującej zasadniczo to robi?

Pytanie sugeruje porównanie trzech powiązanych modeli. Aby wyjaśnić porównanie, niech będzie zmienną zależną, niech będzie bieżącym kodem wspólnoty i zdefiniuj i X 2 jako wskaźniki odpowiednio społeczności 1 i 2. (Oznacza to, że X 1 = 1 dla społeczności 1 i X 1 = 0 dla społeczności 2 i 3; X 2 = 1 dla społeczności 2 i X 2 =$Y$$X \in \{1,2,3\}$$X_1$$X_2$$X_1=1$$X_1=0$$X_2=1$ dla społeczności 1 i 3.)$X_2=0$

Obecna analiza może być jedną z następujących czynności: albo

$$Y = \alpha + \beta X + \varepsilon\quad\text{(first model)}$$

lub

$$Y = \alpha + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \varepsilon\quad\text{(second model)}.$$

W obu przypadkach reprezentuje zestaw identycznie rozmieszczonych niezależnych zmiennych losowych z zerowym oczekiwaniem. Drugi model prawdopodobnie jest zamierzony, ale pierwszy model jest tym, który będzie pasował do kodowania opisanego w pytaniu.$\varepsilon$

Wynikiem regresji OLS jest zestaw dopasowanych parametrów (oznaczonych symbolami „czapki”) wraz z oszacowaniem powszechnej wariancji błędów. W pierwszym modelu jest jeden test t porównać β do 0 . W drugim modelu są dwa testy t: jeden do porównania ^ β 1 do 0, a drugi do porównania ^ β 2 do 0 . Ponieważ pytanie dotyczy tylko jednego testu t, zacznijmy od zbadania pierwszego modelu.$\hat{\beta}$$0$$\hat{\beta_1}$$0$$\hat{\beta_2}$$0$

Stwierdziwszy, że β jest znacząco różne od 0 , można dokonać oszacowania Y = E [ α + β X + ε ] = α + β X$\hat{\beta}$$0$$Y$$\mathbb{E}[\alpha + \beta X + \varepsilon]$$\alpha + \beta X$ dla każdej społeczności:

dla społeczności 1 a oszacowanie wynosi α + $X=1$$\alpha+\beta$ ;

dla społeczności 2 a oszacowanie wynosi α + 2 $X=2$$\alpha+2\beta$ ; i

dla społeczności 3, a oszacowanie wynosi α + 3 β . $X=3$$\alpha+3\beta$

W szczególności pierwszy model wymusza postęp arytmetyczny w efektach społeczności. Jeśli kodowanie społeczności ma być jedynie arbitralnym sposobem różnicowania społeczności, to wbudowane ograniczenie jest równie arbitralne i prawdopodobnie błędne.

Pouczające jest wykonanie tej samej szczegółowej analizy prognoz drugiego modelu:

Dla społeczności 1, gdzie i X 2 = 0 , przewidywana wartość Y jest równa α + β 1 . Konkretnie,$X_1=1$$X_2=0$$Y$$\alpha + \beta_1$

$$Y(\text{community 1}) = \alpha + \beta_1 + \varepsilon.$$

Dla społeczności 2, gdzie i X 2 = 1 , przewidywana wartość Y jest równa α + β 2 . Konkretnie,$X_1=0$$X_2=1$$Y$$\alpha+\beta_2$

$$Y(\text{community 2}) = \alpha + \beta_2 + \varepsilon.$$

Dla społeczności 3, gdzie , przewidywana wartość Y jest równa α . Konkretnie,$X_1=X_2=0$$Y$$\alpha$

$$Y(\text{community 3}) = \alpha + \varepsilon.$$

Trzy parametry skutecznie dają drugiemu modelowi pełną swobodę osobnego oszacowania trzech oczekiwanych wartości $Y$ Testy t oceniają, czy (1) ; to znaczy, czy istnieje różnica między społecznościami 1 i 3; oraz (2) p 2, = 0 ; to znaczy, czy istnieje różnica między społecznościami 2 i 3. Ponadto można przetestować „kontrast” β 2 - β 1 za pomocą testu t, aby sprawdzić, czy społeczności 2 i 1 różnią się: działa to, ponieważ ich różnica wynosi ( α + β 2 ) - ( $\beta_1=0$$\beta_2=0$$\beta_2-\beta_1$ = β 2 - β 1 .$(\alpha + \beta_2) - (\alpha + \beta_1)$$\beta_2-\beta_1$

Teraz możemy ocenić efekt trzech oddzielnych regresji. Oni by byli

$$Y(\text{community 1}) = \alpha_1 + \varepsilon_1,$$

$$Y(\text{community 2}) = \alpha_2 + \varepsilon_2,$$

$$Y(\text{community 3}) = \alpha_3 + \varepsilon_3.$$

Porównując to do drugiego modelu, widzimy, że powinien zgadzać się z α + β 1 , α 2 powinien zgadzać się z α + β 2 , a α 3 powinien zgadzać się z α . Pod względem elastyczności dopasowania parametrów oba modele są jednakowo dobre. Założenia w tym modelu dotyczące terminów błędów są jednak słabsze. Wszystkie ε 1 muszą być niezależne i identycznie rozmieszczone (iid); wszystkie ε 2 muszą być iid, a wszystkie ε 3 muszą być iid,$\alpha_1$$\alpha+\beta_1$$\alpha_2$$\alpha+\beta_2$$\alpha_3$$\alpha$$\varepsilon_1$$\varepsilon_2$$\varepsilon_3$ale nie zakłada się niczego o relacjach statystycznych między poszczególnymi regresjami. Oddzielne regresje pozwalają zatem na dodatkową elastyczność:

• Co najważniejsze, rozkład może różnić się od rozkładu ε 2, który może różnić się od rozkładu ε 3 .$\varepsilon_1$$\varepsilon_2$$\varepsilon_3$

• W niektórych sytuacjach może być skorelowane z ε j . Żaden z tych modeli nie obsługuje tego wyraźnie, ale przynajmniej na trzeci model (osobne regresje) nie będzie miał negatywnego wpływu.$\varepsilon_i$$\varepsilon_j$

Ta dodatkowa elastyczność oznacza, że ​​wyniki testu t parametrów będą prawdopodobnie różnić się między drugim a trzecim modelem. (Nie powinno to jednak skutkować różnymi oszacowaniami parametrów.)

Aby sprawdzić, czy potrzebne są osobne regresje , wykonaj następujące czynności:

Zamontuj drugi model. Wykreśl resztki względem społeczności, na przykład jako zestaw równoległych wykresów pudełkowych lub trio histogramów lub nawet jako trzy wykresy prawdopodobieństwa. Poszukaj dowodów na różne kształty dystrybucji, a zwłaszcza znacznie różne wariancje. Jeśli nie ma takich dowodów, drugi model powinien być w porządku. Jeśli jest obecny, osobne regresje są uzasadnione.

Gdy modele są wielowymiarowe - to znaczy obejmują inne czynniki - możliwa jest podobna analiza, z podobnymi (ale bardziej skomplikowanymi) wnioskami. Zasadniczo wykonywanie oddzielnych regresji jest równoznaczne z włączeniem wszystkich możliwych dwukierunkowych interakcji ze zmienną społeczności (kodowaną jak w drugim modelu, a nie pierwszym) i dopuszczeniem różnych rozkładów błędów dla każdej społeczności.

• wybór modelu (IMHO) może być zalecany. Ponieważ złożone modele (Oddzielne nachylenie) będą podlegały silniejszej karze, dlatego bardziej zwięzłe i łatwiejsze do interpretacji modele będą „lepsze”.