Czy zawsze możemy przepisać prawidłowy rozkład skośny pod względem składu rozkładu arbitralnego i symetrycznego?

Rozważ dwukrotne zróżnicowanie i symetryczny rozkład $\mathcal{F}_X$ . Rozważmy teraz drugi dwukrotnie różny rozkład $\mathcal{F}_Z$ sztywność wypaczona w tym sensie, że:

(1) F_{X} ⪯_{c} F_{Z} .

$(1)\quad\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

gdzie $\preceq_c$ jest wypukłym porządkiem van Zwet [0], więc $(1)$ jest równa:

(2) F_{Z}^{- 1} F_{X} (x) is convex \forall x \in R .

$(2)\quad F^{-1}_ZF_X(x)\text{ is convex $\forall x\in\mathbb{R}.$}$

Rozważmy teraz trzecią podwójnie różną dystrybucję $\mathcal{F}_Y$ dogadzający:

(3) F_{Y} ⪯_{c} F_{Z} .

$(3)\quad\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

Moje pytanie brzmi: czy zawsze możemy znaleźć rozkład $\mathcal{F}_Y$ i rozkład symetryczny $\mathcal{F}_X$ przepisać dowolne $\mathcal{F}_Z$ (wszystkie trzy zdefiniowane jak wyżej) pod względem składu $\mathcal{F}_X$ i $\mathcal{F}_Y$ tak jak:

F_{Z} (z) = F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z)

$F_Z(z)=F_YF_X^{-1}F_Y(z)$

albo nie?

Edytować:

Na przykład jeśli $\mathcal{F}_X$ to Weibull o parametrze kształtu 3.602349 (tak, aby był symetryczny) i $\mathcal{F}_Z$ jest rozkładem Weibulla z parametrem kształtu 3/2 (tak, że jest odpowiednio pochylony), rozumiem

max_{z} | F_{Z} (z) - F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) | \approx 0

$\max_z|F_Z(z)-F_YF_X^{-1}F_Y(z)|\approx 0$

ustawiając jako rozkład Weibulla z parametrem kształtu 2.324553. Zauważ, że wszystkie trzy dystrybucje spełniają: $\mathcal{F}_Y$

F_{- X} = F_{X} ⪯_{c} F_{Y} ⪯_{c} F_{Z},

$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z,$ zgodnie z wymaganiami. Zastanawiam się, czy jest to ogólnie prawdą (w podanych warunkach).

[0] van Zwet, WR (1979). Średnia, mediana, tryb II (1979). Statistica Neerlandica. Tom 33, wydanie 1, strony 1--5.

distributions skewness użytkownik603
źródło

Odpowiedzi:

Nie!

Prostym przykładem przeciwnym jest zapewnione przez Tukeya dystrybucji (szczególnym przypadku do z Tukeya i rozkład). $g$ $h=0$ $g$ $h$

Na przykład, niech będzie Tukey z parametrem a będzie Tukey z parametrem i rozkładem Tukey dla którego . Ponieważ , te trzy rozkłady spełniają: $\mathcal{F}_X$ $g$ $g_X=0$ $\mathcal{F}_Z$ $g$ $g_Z>0$ $\mathcal{F}_Y$ $g$ $g_Y\leq g_Z$ $h=0$

F_{- X} = F_{X} ⪯_{c} F_{Y} ⪯_{c} F_{Z} .

$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

(pierwszy pochodzi z definicji Tukeya która jest symetryczna, jeśli , następne z [0], Twierdzenie 2.1 (i)). $g$ $g=0$

Na przykład dla mamy to: $g_Z=0.5$

min_{g_{Y} \leq g_{Z}} max_{z} | F_{Z} (z) - F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) | \approx 0.005 > 0

$\min_{g_Y\leq g_Z}\max_z|F_Z(z)-F_YF^{-1}_XF_Y(z)|\approx0.005>0$

(z jakiegoś powodu minimum wydaje się zawsze znajdować się w pobliżu ). $g_Y\approx g_Z/2$

[0] HL MacGillivray Właściwości kształtu rodzin g-i-h oraz Johnson. Comm. Statist. — Theory Methods, 21 (5) (1992), s. 1233–1250

Edytować:

W przypadku Weibull twierdzenie jest prawdziwe:

Niech będzie rozkładem Weibulla z parametrem kształtu (parametr skali nie wpływa na uporządkowanie wypukłe, więc możemy ustawić go na 1 bez utraty ogólności). Podobnie , oraz i . $\mathcal{F}_Z$ $w_Z$ $\mathcal{F}_Y$ $\mathcal{F}_X$ $w_Y$ $w_X$

Po pierwsze, należy pamiętać, że dowolne trzy rozkłady Weibulla można zawsze zamówić w sensie [0].

Następnie zauważ, że:

F_{X} = F_{- X} ⟹ w_{X} = 3.602349.

$\mathcal{F}_X=\mathcal{F}_{-X}\implies w_X=3.602349.$

Teraz dla Weibull:

F_{Y} (y) = 1 - \exp ((- y)^{w_{Y}}), F_{Y}^{- 1} (q) = (- \ln (1 - q))^{1 / w_{Y}},

$F_Y(y)=1-\exp((-y)^{w_Y}),\;F_Y^{-1}(q)=(-\ln(1-q))^{1/w_Y},$

po to aby

F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) = 1 - \exp (- z^{w_{Y}^{2} / w_{X}}),

$F_YF_X^{-1}F_Y(z)=1-\exp(-z^{w_Y^2/w_X}),$

F_{Z} (z) = 1 - \exp (- z^{w_{Z}}) .

$F_Z(z)=1-\exp(-z^{w_Z}).$

Dlatego roszczenie można zawsze spełnić, ustawiając . $w_Y=\sqrt{w_Z/w_X}$

[0] van Zwet, WR (1979). Średnia, mediana, tryb II (1979). Statistica Neerlandica. Tom 33, wydanie 1, strony 1--5.
[1] Groeneveld, RA (1985). Skośność dla rodziny Weibull. Statistica Neerlandica. Tom 40, wydanie 3, strony 135–140.

użytkownik603
źródło