To pytanie wynika z rzeczywistej sytuacji, na którą naprawdę byłem zaskoczony odpowiedzią.
Mój syn ma rozpocząć szkołę podstawową w Londynie. Ponieważ jesteśmy Włochami, byłem ciekawy, ilu włoskich dzieci uczęszcza już do szkoły. Poprosiłem o to urzędnika ds. Przyjęć podczas składania wniosku, a ona powiedziała mi, że mają średnio 2 włoskie dzieci na klasę (30 osób).
Jestem teraz w momencie, w którym wiem, że moje dziecko zostało przyjęte, ale nie mam żadnych innych informacji o innych dzieciach. Kryteria przyjęć oparte są na odległości, ale na potrzeby tego pytania uważam, że możemy założyć, że opiera się ono na losowej alokacji od dużej próby wnioskodawców.
Ile włoskich dzieci ma być w klasie mojego syna? Czy będzie bliżej 2 czy 3?
probability
self-study
average
użytkownik90213
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Jak zawsze należy wziąć pod uwagę model probabilistyczny, który opisuje, w jaki sposób szkoła dzieli dzieci na poszczególne klasy. Możliwości:
Wszystkie są rozsądne. Biorąc pod uwagę strategię 2, odpowiedź na twoje pytanie brzmi „nie”. Gdy zastosują strategię 3, oczekiwania będą zbliżone do 3, ale nieco mniejsze. Jest tak, ponieważ twój syn zajmuje „miejsce”, a ty masz o jedną szansę mniej losowego Włocha.
Kiedy szkoła stosuje strategię 1, oczekiwania również rosną; ile zależy od liczby cudzoziemców na klasę.
Bez znajomości twojej szkoły nie ma sposobu, aby odpowiedzieć na to dokładniej. Jeśli masz tylko jedną klasę rocznie, a kryteria przyjęć są zgodne z opisem, odpowiedź byłaby taka sama jak dla 3 powyżej.
Szczegółowa kalkulacja dla 3:
X to liczba włoskich dzieci w klasie. 1 pochodzi od znanego dziecka, 29 to reszta klasy, a 2/30 to prawdopodobieństwo, że nieznane dziecko jest Włochem, biorąc pod uwagę to, co mówi szkoła. B jest rozkładem dwumianowym.
Zauważ, że rozpoczęcie od nie daje właściwej odpowiedzi, ponieważ wiedza, że określone dziecko jest Włochem, narusza wymienność przyjętą przez rozkład dwumianowy. Porównaj to z paradoksem chłopca lub dziewczynki , gdzie ma to znaczenie, czy wiesz, że jedno dziecko jest dziewczynką, czy wiedząc, że starsze dziecko jest dziewczynką.mi( X| X≥ 1 )
źródło
Innym sposobem na to jest na poziomie poszczególnych dzieci. Zakładając, że 30 dzieci dobranych losowo z populacji (co już wskazane możemy), możemy działać wstecz do szorstkiej prawdopodobieństwem włoskiego dziecka jest wyciągnąć z tej populacji: = 1 / 15 .2/30 1/15
Biorąc pod uwagę, że wiemy, że jeden z 30 jest Włochem, musimy tylko obliczyć prawdopodobieństwo dla pozostałych dzieci:
Wiedząc, że Twoje dziecko jest Włochem, zmienia oczekiwaną liczbę włoskich dzieci w klasie na około 2,933, co jest znacznie bliższe 3 niż 2.
źródło
Oto moje przemyślenia, jak do tego podejść:
Niech zmienna losowa oznacza liczbę włoskich dzieci w klasie, która ma obecnie rozmiar n . Niech X będzie wskaźnikiem tego, że nowe dziecko jest Włochem. Załóżmy, że dodajemy dziecko X do tej klasy. Zatem oczekiwana liczba włoskich dzieci w tej rozszerzonej klasie wielkości n + 1 wynosi E ( S n + X ) = E ( S n ) + E ( X ) = E ( S n ) + P (Sn n X X n+1 . Zauważ, że niezależność nie ma tutaj znaczenia, ponieważ używamy tylko liniowości oczekiwań. Jeśliwiadomo, żedziecko X jest Włochem, X = 1 z prawdopodobieństwem 1, więc zwiększyliśmy wartość oczekiwaną o 1.E(Sn+X)=E(Sn)+E(X)=E(Sn)+P(X=1) X X=1
źródło
(zwróć uwagę na dolną granicę sumy w ostatnim kroku)
źródło
Nie. Twoja wiedza o zbliżających się wydarzeniach nic nie zmienia w typowym doświadczeniu szkoły.
źródło