Czy przy ponownym parametryzowaniu funkcji wiarygodności wystarczy tylko podłączyć zmienną przekształconą zamiast formuły zmiany zmiennych?

Załóżmy, że próbuję ponownie sparametryzować funkcję prawdopodobieństwa rozkładającą się wykładniczo. Jeśli moją pierwotną funkcją wiarygodności jest:

$$p(y \mid \theta) = \theta e^{-\theta y}$$

i chciałbym ponownie sparametryzować za pomocą , ponieważθnie jest zmienną losową, ale parametrem, wystarczy tylko podłączyć?$\phi = \frac{1}{\theta}$$\theta$

Mam na myśli wprost to:

$$p\left(y \mid \phi = \frac{1}{\theta}\right) = \frac{1}{\phi} e^{-\frac{1}{\phi} y}$$

Jeśli tak, to nie jestem pewien, jaka jest za tym teoria. Rozumiem, że funkcja prawdopodobieństwa jest funkcją parametru, więc dlaczego nie muszę używać formuły zmiany zmiennych myli mnie. Każda pomoc byłaby mile widziana, dzięki!

$y$$\theta$$y$$\theta$$\phi$

$$\int p(y|\theta)\text{d}y = \int p(y|\phi)\text{d}y = 1$$ $\theta$$p(\theta)$$\theta$$\theta$ $$p(\theta|y)\propto p(\theta) p(y|\theta)$$ $\phi$ $$p(\phi|y)\propto p(y|\phi)p(\phi)=p(y|\theta(\phi))p(\theta(\phi))\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|\propto p(\theta(\phi)|y)\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|$$ $\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|$