Biorąc pod uwagę n równomiernie rozłożonych rv, jaki jest PDF dla jednego rv podzielony przez sumę wszystkich nv.v?

10

Interesuje mnie następujący rodzaj przypadku: istnieją ciągłe zmienne losowe „n”, które muszą sumować się do 1. Co to byłby plik PDF dla każdej pojedynczej takiej zmiennej? Jeśli więc n=3 , to jestem zainteresowany rozkładem dla X1X1+X2+X3 , gdzieX1,X2iX3są rozmieszczone równomiernie. Średni oczywiście w tym przykładzie jest1/3, a średnia wynosi tylko1/n, a mimo to jest łatwe do dystrybucji symulacji w R, nie wiem, co rzeczywiste równanie PDF lub CDF jest.

Ta sytuacja jest związana z dystrybucją Irwin-Hall ( https://en.wikipedia.org/wiki/Irwin%E2%80%93Hall_distribution ). Tylko Irwin-Hall jest rozkładem sumy n jednolitych zmiennych losowych, podczas gdy chciałbym rozkład dla jednego z n jednolitych zmiennych rv podzielony przez sumę wszystkich n zmiennych. Dzięki.

użytkownik3593717
źródło
1
Jeśli n ciągłych jednorodnych zmiennych losowych sumuje się do 1 , to przy n=3 , X1+X2+X3=1 a więc rozkład X1X1+X2+X3=X1jest taki sam jak rozkładX1, prawda?
Dilip Sarwate,
1
Powinienem się poprawić: rozkłady N jednolitych nie sumują się do 1. Zakładam, że każdy z nich jest jednolity między 0 a 1, więc ich suma może wynosić od 0 do N. Myślę o wzięciu każdej zmiennej jednolitej i podzieleniu przez sumę wszystkich N zmiennych zmiennych, aby otrzymać zestaw N zmiennych losowych, które sumują się do 1 i mają wartość oczekiwaną 1 / N. Uwaga: usunąłem słowo „mundur” z pierwszego zdania. Rozkład, którego szukam, nie jest jednolity, ale pochodzi od podzielenia jednej z N zmiennych jednolitych przez sumę wszystkich N zmiennych zmiennych. Po prostu nie jestem pewien jak.
user3593717,
W którym Xi są rozmieszczone w postępie geometrycznym, wektor zmiennych znormalizowanych ma rozkład dirichleta. Może to być interesujące samo w sobie, ale przeanalizowane może również zapewnić taktykę dla tego rodzaju sytuacji.
przypuszcza

Odpowiedzi:

4

Punkty przerwania w domenie sprawiają, że jest nieco niechlujny. Proste, ale żmudne podejście polega na osiągnięciu ostatecznego wyniku. Dla n=3, niech Y=X2+X3, W=X2+X3X1,aT=1+W.NastępnieZ=1T=X1X1+X2+X3.

Wartości graniczne są 1 do 1 i 2 w W , 2 i 3, do T , i 1 / 3 i 1 / 2 do Z . Znalazłem pełny pdfY,W,T,1/31/2Z.

f(z)={     1(1z)2 ,if 0z1/33z39z2+6z13z3(1z)2 ,if 1/3z1/2       1z3z3 ,if 1/2z1

Plik cdf można następnie znaleźć jako

F(z)={           z(1z) ,if 0z1/312+18z3+24z29z+16z2(1z) ,if 1/3z1/2        56+2z16z2 ,if 1/2z1
soakley
źródło
+1 Nice. Also, your density agrees beautifully with simulation.
Glen_b -Reinstate Monica
2

Let Y=i=2nXi. We can find the cdf of X1/i=1nXi by calculating

P(X1i=1nXit)=P(X1ti=1nXi)=P((1t)X1ti=2nXi)=P(X1t1tY)=01P(x1t1tY) dx1=01(1FY(1ttx1)) dx1=101FY(1ttx1) dx1
We then differentiate and substitute the Irwin-Hall pdf to obtain the desired pdf:
f(t)=01fY(1ttx1)x1t2 dx1=1t201(n1)t1tk=01ttx11(n2)!(1)k(n1k)(1ttx1k)n1x1 dx1
From here it gets a little messy, but you should be able to interchange the integral and summation and then perform a substitution (e.g, u=tx11tk) to evaluate the integral and hence obtain an explicit formula for the pdf.
Brent Kerby
źródło
1

Assuming

"the N uniform distributions don't sum to 1."

This is how I started(it's incomplete):

Consider Y=i=1nXi and let X=Xi by a slight abuse of notation.

Consider, U=XY and V=Y:

X=UVY=V

Then following transformation of variables:

J=[VU01]

The joint probability function of (U,V) is given by:

fU,V(u,v)=fX,Y(uv,v)|J|

Where XU(0,1) and YIrwinHall

fX(x)={10x10otherwise

And,

fY(y)=12(n1)!k=0n(1)k(nk)(xk)n1sign(xk)

Thus,

fU,V(u,v)={12(n1)!k=0n(1)k(nk)(uvk)n1sign(uvk)0uv10otherwise

and fU(u)=fU,V(u,v)dv

rightskewed
źródło
0

Suppose we already know sum of U(0,1) has a Irwin-Hall distribution. Now your question changes to find the pdf (or CDF) of XY when X had a U(0,1) distribution and Y has a Irwin-Hall distribution.

First we need to find he joint pdf of X and Y.

Let Y1=X1Y2=X1+X2Y3=X1+X2+X3

Then

X1=Y1X2=Y2Y1X3=Y3Y2Y1

J=|X1Y1X1Y2X1Y3X2Y1X2Y2X2Y3X3Y1X3Y2X3Y3|=1

Since X1,X2,X3 are i.i.d with U(0,1), therefore, f(x1,x2,x3)=f(x1)f(x2)f(x3)=1

The joint distribution with y1,y2,y3 is

g(y1,y2,y3)=f(y1,y2,y3)|J|=1

Next let us integrate out the Y2 and we can get the joint distribution of Y1 and Y3 i.e the joint distribution of X1 and X1+X2+X3

As suggested by whuber now I changed the the limits

(1)h(y1,y3)=y1+1y31g(y1,y2,y3)dy2=y1+1y311dy2=y3y12

Now, we know the joint pdf of X,Y i.e joint pdf X1 and X1+X2+X3 is y3y12.

Next let find the pdf of XY

We need another transformation:

Let Y1=XY2=XY

Then X=Y1Y=Y1Y2

Then

J=|xy1xy2yy1yy2|=|101y2y1y22|=y1y22

we already the joint distribution of X,Y from above steps ref (1).

g2(y1,y2)=h(y1,y3)|J|=(y3y12)y1y22

Next, we integrate the y1 out we get the pdf of y2 then we get the pdf of XY

(2)h2(y2)=01(y3y12)y1y22dy1=1y22(y32131)

This is the pdf of X/Y i.e X1X1+X2+X3

We are not finish yet, what is y3 in (2) then?

We know that Y3=X1+X2+X3 from the first transformation.

So at least we know Y3 has a Irwin-Hall distribution.

I wonder can we plug the Irwin-Hall for n=3 pdf to (2) to get a explicit formula? or can we do some simulations from here as Glen suggested?

Deep North
źródło
2
Simulation doesn't seem to agree with that pdf.
Glen_b -Reinstate Monica
The logic and steps seem correct, but I feel uncomfortable about this solution.
Deep North
2
Where you integrated out y2, you needed to account for the conditions y1y2y3 and y31y2y1+1.
whuber