Interesuje mnie następujący rodzaj przypadku: istnieją ciągłe zmienne losowe „n”, które muszą sumować się do 1. Co to byłby plik PDF dla każdej pojedynczej takiej zmiennej? Jeśli więc , to jestem zainteresowany rozkładem dla , gdzieisą rozmieszczone równomiernie. Średni oczywiście w tym przykładzie jest, a średnia wynosi tylko, a mimo to jest łatwe do dystrybucji symulacji w R, nie wiem, co rzeczywiste równanie PDF lub CDF jest.
Ta sytuacja jest związana z dystrybucją Irwin-Hall ( https://en.wikipedia.org/wiki/Irwin%E2%80%93Hall_distribution ). Tylko Irwin-Hall jest rozkładem sumy n jednolitych zmiennych losowych, podczas gdy chciałbym rozkład dla jednego z n jednolitych zmiennych rv podzielony przez sumę wszystkich n zmiennych. Dzięki.
Odpowiedzi:
Punkty przerwania w domenie sprawiają, że jest nieco niechlujny. Proste, ale żmudne podejście polega na osiągnięciu ostatecznego wyniku. Dlan=3, niech Y=X2+X3, W=X2+X3X1, aT=1+W. NastępnieZ=1T=X1X1+X2+X3.
Wartości graniczne są 1 do 1 i 2 w W , 2 i 3, do T , i 1 / 3 i 1 / 2 do Z . Znalazłem pełny pdfY, W, T, 1/3 1/2 Z.
Plik cdf można następnie znaleźć jako
źródło
LetY=∑ni=2Xi . We can find the cdf of X1/∑ni=1Xi by calculating
źródło
Assuming
This is how I started(it's incomplete):
ConsiderY=∑ni=1Xi and let X=Xi by a slight abuse of notation.
Consider,U=XY and V=Y :
Then following transformation of variables:
The joint probability function of(U,V) is given by:
WhereX∼U(0,1) and Y∼IrwinHall
And,
Thus,
andfU(u)=∫fU,V(u,v)dv
źródło
Suppose we already know sum ofU(0,1) has a Irwin-Hall distribution.
Now your question changes to find the pdf (or CDF) of XY when X had a U(0,1) distribution and Y has a Irwin-Hall distribution.
First we need to find he joint pdf ofX and Y .
LetY1=X1Y2=X1+X2Y3=X1+X2+X3
Then
SinceX1,X2,X3 are i.i.d with U(0,1), therefore, f(x1,x2,x3)=f(x1)f(x2)f(x3)=1
The joint distribution withy1,y2,y3 is
Next let us integrate out theY2 and we can get the joint distribution of Y1 and Y3 i.e the joint distribution of X1 and X1+X2+X3
As suggested by whuber now I changed the the limits
Now, we know the joint pdf ofX,Y i.e joint pdf X1 and X1+X2+X3 is y3−y1−2 .
Next let find the pdf ofXY
We need another transformation:
LetY1=XY2=XY
ThenX=Y1Y=Y1Y2
Then
we already the joint distribution ofX,Y from above steps ref (1).
Next, we integrate they1 out we get the pdf of y2 then we get the pdf of XY
This is the pdf ofX/Y i.e X1X1+X2+X3
We are not finish yet, what isy3 in (2) then?
We know thatY3=X1+X2+X3 from the first transformation.
So at least we knowY3 has a Irwin-Hall distribution.
I wonder can we plug the Irwin-Hall forn=3 pdf to (2) to get a explicit formula? or can we do some simulations from here as Glen suggested?
źródło