Weź 5 brył platońskich z zestawu kości Lochów i Smoków. Składają się one z kostek 4-stronnych, 6-stronnych (konwencjonalnych), 8-stronnych, 12-stronnych i 20-stronnych. Wszystkie zaczynają się od cyfry 1 i liczą w górę o 1 do ich sumy.
Rzuć je wszystkie naraz, weź ich sumę (minimalna suma to 5, maksimum to 50). Zrób to wiele razy. Jaka jest dystrybucja?
Oczywiście będą dążyć do niskiego poziomu, ponieważ jest ich więcej niż niżej. Ale czy na każdej granicy indywidualnej kości będą widoczne punkty przegięcia?
[Edycja: Najwyraźniej to, co wydawało się oczywiste, nie jest. Według jednego z komentatorów średnia wynosi (5 + 50) /2 = 27,5. Nie spodziewałem się tego. Nadal chciałbym zobaczyć wykres.] [Edytuj2: Bardziej sensowne jest, aby rozkład n kości był taki sam jak każdej kości oddzielnie, razem wzięte.]
źródło
hist(rowSums(sapply(c(4, 6, 8, 12, 20), sample, 1e6, replace = TRUE)))
. W rzeczywistości nie dąży do niskiego poziomu; z możliwych wartości od 5 do 50, średnia wynosi 27,5, a rozkład (wizualnie) nie jest daleko od normy.Odpowiedzi:
Nie chciałbym tego robić algebraicznie, ale można obliczyć pmf po prostu (to po prostu splot, który jest naprawdę łatwy w arkuszu kalkulacyjnym).
Obliczyłem je w arkuszu kalkulacyjnym *:
Tutaj jest liczbą sposobów uzyskania każdego całkowitego i ; p ( i ) to prawdopodobieństwo, gdzie p ( i ) = n ( i ) / 46080 . Najbardziej prawdopodobne wyniki występują mniej niż 5% czasu.n(i) i p(i) p(i)=n(i)/46080
Oś y jest prawdopodobieństwem wyrażonym w procentach.
* Metoda, którą zastosowałem, jest podobna do procedury opisanej tutaj , chociaż dokładna mechanika związana z jej konfiguracją zmienia się wraz ze zmianami szczegółów interfejsu użytkownika (ten post ma teraz około 5 lat, chociaż zaktualizowałem go około rok temu). I tym razem użyłem innego pakietu (tym razem zrobiłem to w LibreOffice's Calc). Ale to jest sedno tego.
źródło
Więc stworzyłem ten kod:
Rezultatem jest ten spisek.
Wygląda dość gaussowsko. Myślę, że my (ponownie) mogliśmy wykazać wariację na temat twierdzenia o granicy centralnej.
źródło
Mała pomoc dla twojej intuicji:
Najpierw zastanów się, co się stanie, jeśli dodasz jedną do wszystkich ścian jednej kości, np. D4. Zatem zamiast 1,2,3,4 twarze pokazują teraz 2,3,4,5.
Porównując tę sytuację do oryginału, łatwo zauważyć, że łączna suma jest teraz o jeden wyższa niż kiedyś. Oznacza to, że kształt rozkładu pozostaje niezmieniony, wystarczy przesunąć o jeden krok w bok.
Teraz odejmij średnią wartość każdej kości z każdej strony tej kości.
Daje to zaznaczone kości
itp.
Teraz suma tych kości powinna nadal mieć taki sam kształt jak oryginał, tylko przesunięta w dół. Powinno być jasne, że suma ta jest symetryczna wokół zera. Dlatego pierwotny rozkład jest również symetryczny.
źródło
i możesz sprawdzić, czy jest to poprawne (ręcznie obliczone). Teraz prawdziwe pytanie: pięć kości z 4,6,8,12,20 stronami. Wykonam obliczenia przy założeniu jednolitych sond dla każdej kości. Następnie:
Fabuła pokazana jest poniżej:
Teraz możesz porównać to dokładne rozwiązanie z symulacjami.
źródło
Centralne twierdzenie graniczne odpowiedzi na swoje pytanie. Chociaż jego szczegóły i dowody (i ten artykuł w Wikipedii) są nieco zadziwiające, ich istota jest prosta. Według Wikipedii stwierdza to
Szkic dowodu dla twojej sprawy:
Kiedy mówisz „rzuć wszystkimi kostkami jednocześnie”, każdy rzut wszystkich kości jest zmienną losową.
Twoje kości mają wydrukowane skończone liczby. Suma ich wartości ma zatem skończoną wariancję.
Za każdym razem, gdy rzucisz wszystkimi kostkami, rozkład prawdopodobieństwa wyniku jest taki sam. (Kości nie zmieniają się między rzutami.)
Jeśli rzucisz kostkami rzetelnie, to za każdym razem, gdy je rzucisz, wynik jest niezależny. (Poprzednie rzuty nie wpływają na przyszłe rzuty).
Niezależny? Czek. Identycznie dystrybuowany? Czek. Skończona wariancja? Czek. Dlatego suma zmierza w kierunku rozkładu normalnego.
Nie miałoby nawet znaczenia, czy rozkład dla jednego rzutu wszystkich kości byłby przekrzywiony w kierunku dolnego końca. Nie miałbym znaczenia, gdyby w tej dystrybucji były guzki. Całe sumowanie wygładza go i czyni z niego symetryczny gaussowski. Nie musisz nawet wykonywać algebry ani symulacji, aby to pokazać! To zaskakujący wgląd CLT.
źródło