Zmniejszenie o połowę dyskretnej zmiennej losowej?

Pozwolić $X$ być dyskretną zmienną losową przyjmującą jej wartości $\mathbb{N}$. Chciałbym zmniejszyć tę zmienną o połowę , to znaczy znaleźć zmienną losową$Y$ Jak na przykład:

$$X = Y + Y^*$$

gdzie $Y^*$ jest niezależną kopią $Y$.

• Odnoszę się do tego procesu jako do połowy ; to wymyślona terminologia. Czy w literaturze istnieje odpowiedni termin na tę operację?
• Wydaje mi się, że takie $Y$zawsze istnieje tylko wtedy, gdy zaakceptujemy negatywne prawdopodobieństwa. Czy mam rację w moich spostrzeżeniach?
• Czy istnieje pojęcie najlepszej pozytywnego dopasowania do$Y$? Aka losowa zmienna, która byłaby „najbliższa” do rozwiązania powyższego równania.

Dzięki!

Pojęcie silnie związane z tą właściwością (jeśli jest słabsze) to rozkład . Prawo rozkładalne to rozkład prawdopodobieństwa, który można przedstawić jako rozkład sumy dwóch (lub więcej) nietrywialnych niezależnych zmiennych losowych. (I nie można w ten sposób napisać prawa nierozkładalnego. „Lub więcej” jest zdecydowanie nieistotne.) Koniecznym i wystarczającym warunkiem dekompozycji jest funkcja charakterystyczna

$$\psi(t)=\mathbb{E}[\exp\{itX\}]$$ jest produktem dwóch (lub więcej) charakterystycznych funkcji.

Nie wiem, czy rozważana właściwość ma już nazwę w teorii prawdopodobieństwa, może być powiązana z nieskończoną podzielnością . Co jest znacznie silniejszą właściwością$X$, ale która obejmuje tę właściwość: wszystkie nieskończenie podzielne rv spełniają ten rozkład.

Niezbędnym i wystarczającym warunkiem tej „pierwotnej podzielności” jest pierwiastek funkcji charakterystycznej

$$\psi(t)=\mathbb{E}[\exp\{itX\}]$$ jest znowu charakterystyczną funkcją.

W przypadku rozkładów z obsługą liczb całkowitych rzadko ma to miejsce, ponieważ funkcją charakterystyczną jest wielomian w $\exp\{it\}$. Na przykład losowa zmienna Bernoulliego nie podlega rozkładowi.

Jak wskazano na stronie Wikipedii dotyczącej rozkładu , istnieją również absolutnie ciągłe rozkłady, które nie ulegają rozkładowi, takie jak gęstość

$$f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{2\pi}}\exp\{-x^2/2\}$$

W przypadku charakterystycznej funkcji $X$jest wartościowy, można zastosować twierdzenie Polyi :

Twierdzenie Pólyi. Jeśli φ jest funkcją ciągłą o wartości równej wartości rzeczywistej, która spełnia warunki

φ(0) = 1,
φ is convex on (0,∞),
φ(∞) = 0,

wtedy φ jest funkcją charakterystyczną absolutnie ciągłego rozkładu symetrycznego.

Rzeczywiście w tym przypadku $\varphi^{1/2}$jest ponownie wyceniony. Dlatego wystarczający warunek dla$X$podstawową podzielnością jest to, że φ jest wypukłe. Ale dotyczy to tylko rozkładów symetrycznych, więc ma o wiele bardziej ograniczone zastosowanie niż na przykład twierdzenie Böchnera .

Istnieją pewne szczególne przypadki, w których jest to prawdą, ale w przypadku dowolnej dyskretnej zmiennej losowej twoje „zmniejszenie o połowę” nie jest możliwe.

• Suma dwóch niezależnych dwumianów$(n,p)$ zmienne losowe są dwumianowe$(2n,p)$ zmienna losowa, a więc dwumianowy$(2n,p)$można „zmniejszyć o połowę”.
  Ćwiczenie: dowiedz się, czy dwumianowy$(2n+1,p)$ zmienna losowa może być „zmniejszona o połowę”.

• Podobnie, ujemny dwumian$(2n,p)$ zmienna losowa może być „zmniejszona o połowę”.

• Suma dwóch niezależnych Poissonów$(\lambda)$ zmienne losowe to Poissona$(2\lambda)$; przeciwnie, Poissona$(\lambda)$ zmienna losowa jest sumą dwóch niezależnych Poissona$(\frac{\lambda}{2})$zmienne losowe. Rzeczywiście, jak zauważył @ Xi'an w komentarzu, Poisson$(\lambda)$ zmienna losowa może być „zmniejszona o połowę” tyle razy, ile chcemy: dla każdej dodatniej liczby całkowitej $n$, jest to suma $2^n$ niezależny Poisson$\left(\frac{\lambda}{2^n}\right)$ zmienne losowe.

Problem wydaje mi się, że prosisz o „niezależną kopię”, w przeciwnym razie możesz po prostu pomnożyć $\frac{1}{2}$? Zamiast pisać kopię (kopia jest zawsze zależna), być może powinieneś napisać „dwie niezależne, ale identycznie rozmieszczone zmienne losowe”.

Aby odpowiedzieć na twoje pytania,

• to, co jest najbliższe, to być może termin „splot”. Za dane$X$, szukasz dwóch iid RV ze splotem $X$.

• jeśli zaakceptujesz prawdopodobieństwo ujemne, nie są to już zmienne losowe, ponieważ nie ma już przestrzeni prawdopodobieństwa. Są przypadki, w których można je znaleźć$Y,Y^*$ ($X$ $\lambda$-Poisson-dystrybuowane, $Y$,$Y^*$ $\frac{\lambda}{2}$-Poisson-Distributed) oraz przypadki, w których nie jest to możliwe ($X$ Bernoulli, jako przykład).

• nie widziałem żadnego i nie wyobrażam sobie, jak sformalizować takie najlepsze dopasowanie. Zwykle aproksymacje zmiennych losowych są mierzone przez normę w przestrzeni zmiennych losowych. Nie mogę myśleć o przybliżeniach zmiennych losowych przez zmienne nieprzypadkowe.

Mam nadzieję, że mógłbym pomóc.