Udowodnij / odrzuć

Udowodnij / odrzuć $E[1_A | \mathscr{F_t}] = 0 \ \text{or} \ 1 \ \text{a.s.} \ \Rightarrow E[1_A | \mathscr{F_{s}}] = E[1_A | \mathscr{F_t}] \ \text{a.s.}$

---

Biorąc filtrowanego przestrzeń prawdopodobieństwa $(\Omega, \mathscr{F}, \{\mathscr{F}_n\}_{n \in \mathbb{N}}, \mathbb{P})$ , niech $A \in \mathscr{F}$ .

Załóżmy, że Czy wynika z tego, żeCo z ?

$$\exists t \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ E[1_A | \mathscr{F_t}] = 1 \ \text{a.s.}$$ $$E[1_A | \mathscr{F_{s}}] = E[1_A | \mathscr{F_t}] \ \text{a.s.} \ \forall s > t \ ?$$ $\forall s < t$

Co jeśli zamiast

$$\exists t \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ E[1_A | \mathscr{F_t}] = 0 \ \text{a.s.} \ ?$$ A co jeśli $$E[1_A | \mathscr{F_t}] = p \ \text{a.s.} \ \text{for some} \ p \in (0,1) \ ?$$

---

Co próbowałem:

---

Jeżeli , następnie E [ 1 A ] = 1 , czyli tyle samo, co 1 A = 1 (prawie na pewno). W tym przypadku E [ 1 A | F s ] = 1 (prawie na pewno) dla każdego s .$\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=1$$\Bbb E[1_A]=1$$1_A=1$$\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=1$$s$

Podobnie, jeśli , następnie E [ 1 A ] = 0 , czyli tyle samo, co 1 A = 0 (prawie na pewno). W tym przypadku E [ 1 A | F s ] = 0 (prawie na pewno) dla każdego s .$\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=0$$\Bbb E[1_A]=0$$1_A=0$$\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=0$$s$

Jeżeli , dla stałej p ∈ ( 0 , 1 ) , to mamy$\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=p$$p\in(0,1)$

. Może się to nie powieść, jeśli s > t .$\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=E[E[1_A|\mathscr F_t]|\mathscr F_s] = E[p|\mathscr F_s] = p$$s>t$

Alternatywnie dla przypadku :$= p$

Niech będzie ograniczoną F t- mierzalną zmienną losową.$F$$\mathscr F_t$

$$\Bbb E[1_A\cdot F]=\Bbb E[E[1_A\cdot F|\mathscr F_t]]=\Bbb E[F\cdot E[1_A|\mathscr F_t]]$$

$$=\Bbb E[p\cdot F]=p\Bbb E[F]=\Bbb E[1_A]\cdot\Bbb E[F]$$

co oznacza, że i F są niezależne. Innymi słowy, σ ( ) i F T są niezależne. Zatem σ ( A ) i F s są również niezależne, jeżeli s < t, a zatem E [ 1 A | F s ] = E [ 1 A ] = p . Może się to nie powieść, jeśli s > t .$1_A$$F$$\sigma(A)$$\mathscr F_t$$\sigma(A)$$\mathscr F_s$$s<t$$E[1_A|\mathscr F_s] = E[1_A] = p$$s>t$

Chyba chodzi o to, że stała się zarówno niezależne od i M s -measurable$\mathscr F_s$$\mathscr F_s$ .

Twój argument wydaje się słuszny, ale zaczynasz od założenia, że . Pytanie brzmi jednak, że E [ 1 A | F t ] ∈ { 0 , 1 } , co miałbym na myśli, że zmienna losowa E [ 1 A | F t ] przyjmuje wartości z zestawu { 0 , 1 }, tj. E [ 1 A | $E[1_A | \mathscr{F_t}] = 1$$E[1_A | \mathscr{F_t}] \in \{0, 1\}$$E[1_A | \mathscr{F_t}]$$\{0, 1\}$ gdzieB∈ F t . Właściwością definiującą to warunkowe oczekiwanie jest to, że ∫ F 1 B d P = ∫ F 1 A d P dla wszystkichF∈ F t . W szczególności przyjęcieF=Bprowadzi doP(B)=P(A∩B), z którego możemy wywnioskować, żeB⊂$E[1_A | \mathscr{F_t}]=1_B$$B\in\mathscr{F_t}$$\int_F 1_B d\mathbb{P}=\int_F 1_A d\mathbb{P}$$F\in\mathscr{F_t}$$F=B$$P(B)=P(A\cap B)$$B\subset A$(z wyjątkiem ewentualnie zerowego prawdopodobieństwa). Wiemy jednak również (jak w argumencie, który napisałeś), że tj. P ( A ) = P ( B ) , więc jedynym możliwym wnioskiem jest to, że A = B (z wyjątkiem ewentualnie zbioru zerowego prawdopodobieństwa).$E[E[1_A | \mathscr{F_t}]] = E[1_B]$$P(A)=P(B)$$A=B$

Dla , $s\gt t$ , więc prawo wieży dla oczekiwań warunkowych implikuje, żeE[ 1 A | F t ]=E[E[ 1 A | F t ] | F s ]. AleE[ 1 A | F t ]= 1 A , więcE[ 1 A | F s ]$\mathscr{F_t}\subset\mathscr{F_s}$$E[1_A | \mathscr{F_t}]=E[E[1_A | \mathscr{F_t}] | \mathscr{F_s}]$$E[1_A | \mathscr{F_t}]=1_A$ . Zatem wszystkie warunkowe oczekiwania dla s > t są równe (do 1 A ). Dla s < t , jeśli A ∈ F s , nadal będziemy mieć E [ 1 A | F s ] = 1 . Z drugiej strony, jeśli chcemy wrócić do czasów, w którychnie jest w F s , a następnie nie sądzę cokolwiek można powiedzieć o E [ 1 | F s$E[1_A | \mathscr{F_s}]=1_A$$s>t$$1_A$$s<t$$A\in\mathscr{F_s}$$E[1_A | \mathscr{F_s}]=1_A$$A$$\mathscr{F_s}$$E[1_A | \mathscr{F_s}]$ogólnie. Konkretny przykład znajduje się w tym dokumencie , rysunek 1. Biorąc na przykład , daje ciąg warunkowych oczekiwań E [ 1 A | F 0 ] = $A=\{\omega_2\}\in\mathscr{F_2}\setminus\mathscr{F_1}$,E[1A| F1]=$E[1_A | \mathscr{F_0}]=\frac{1}{8} 1_\Omega$,E[1A| F2]=1{ω2},E[1A| F3]=1{ω2}.$E[1_A | \mathscr{F_1}]=\frac{1}{2}1_{\{\omega_1,\omega_2\}}$$E[1_A | \mathscr{F_2}]=1_{\{\omega_2\}}$$E[1_A | \mathscr{F_3}]=1_{\{\omega_2\}}$