Dlaczego macierz projekcji ortogonalnej projekcji jest symetryczna?

Jestem w tym całkiem nowy, więc mam nadzieję, że wybaczysz mi, jeśli pytanie jest naiwne. (Kontekst: Uczę się ekonometrii z książki Davidsona i MacKinnona „Teoria ekonometryczna i metody” i wydaje się, że nie wyjaśniają tego; przyjrzałem się także książce optymalizacyjnej Luenbergera, która zajmuje się projekcjami na nieco bardziej zaawansowanym poziomie, ale bez powodzenia).

Załóżmy, że mają rzut prostopadły z wiąże się macierz projekcji P . Jestem zainteresowany rzutowaniem każdego wektora w R n na jakąś podprzestrzeń A ⊂ R n .$\mathbb P$$\bf P$$\mathbb{R}^n$$A \subset \mathbb{R}^n$

Pytanie : dlaczego wynika z tego, że T , czyli P jest symetryczny? W jakim podręczniku mogę zobaczyć ten wynik?$\bf{P}=P$$^T$$\bf P$

Jest to fundamentalny wynik algebry liniowej na rzutach ortogonalnych. Stosunkowo proste podejście jest następujące. Jeśli są wektorami ortonormalnymi obejmującymi m- wymiarową podprzestrzeń A , a U to macierz n × p z u i s jako kolumnami, to P = U $u_1, \ldots, u_m$$m$$A$$\mathbf{U}$$n \times p$$u_i$ Wynika to bezpośrednio z faktu, że rzut ortogonalny x na A można obliczyć w kategoriach ortonormalnej podstawy A jako

$$\mathbf{P} = \mathbf{U}\mathbf{U}^T.$$ $x$$A$$A$ Wynika stąd bezpośrednio, że w powyższym wzorzeP2=Pi żePT=P $$\sum_{i=1}^m u_i u_i^T x.$$ $\mathbf{P}^2 = \mathbf{P}$$\mathbf{P}^T = \mathbf{P}.$

Można również podać inny argument. Jeśli jest macierzą rzutowania dla rzutu ortogonalnego, to z definicji dla wszystkich x , y ∈ R n P x ⊥ y - P y . W związku z tym 0 = ( P x ) T ( y - P y ) = x T P T ( I - P ) y = x T ( P T - $\mathbf{P}$$x,y \in \mathbb{R}^n$

$$\mathbf{P}x \perp y-\mathbf{P}y.$$
dla wszystkich x , y ∈ R $$0 = (\mathbf{P} x)^T (y - \mathbf{P}y) = x^T \mathbf{P}^T (I - \mathbf{P}) y = x^T (\mathbf{P}^T - \mathbf{P}^T \mathbf{P}) y$$ $x, y \in \mathbb{R}^n$. To pokazuje, że , skąd P = ( P T ) T = ( P T P ) T$\mathbf{P}^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P}$ $$\mathbf{P} = (\mathbf{P}^T)^T = (\mathbf{P}^T \mathbf{P})^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P} = \mathbf{P}^T.$$

Próba intuicji geometrycznej ... Przypomnij sobie, że:

1. Matryca symetryczna jest samoregulująca.
2. Iloczyn skalarny jest określany tylko przez składniki we wspólnej przestrzeni liniowej (i niezależne od elementów ortogonalnych dowolnego z wektorów).

$x$$A$$y$$\langle x,Ay \rangle$$x$$y$$\langle Ax,Ay \rangle$$\langle Ax,y\rangle$

$A$