W oszacowaniu maksymalnego prawdopodobieństwa próbujesz zmaksymalizować ; jednakże maksymalizacja tego jest równoważna maksymalizacji dla ustalonego . p x ( 1 - p ) n - x xn C.x px( 1 - p )n - xpx( 1 - p )n - xx
W rzeczywistości prawdopodobieństwo gaussa i poissona również nie obejmuje ich wiodących stałych, więc ten przypadek jest taki sam jak te w
Adresowanie PO Komentarz
Oto trochę więcej szczegółów:
Po pierwsze, jest całkowitą liczbą sukcesów, podczas gdy jest pojedynczą próbą (0 lub 1). W związku z tym:xxja
∏i = 1npxja( 1 - p )1 - xja= p∑n1xja( 1 - p )∑n11 - xja= px( 1 - p )n - x
To pokazuje, jak uzyskać czynniki prawdopodobieństwa (wykonując powyższe kroki wstecz).
Dlaczego stała odchodzi? Nieformalnie i to, co większość ludzi robi (włączając mnie), po prostu zauważa, że stała wiodąca nie wpływa na wartość która maksymalizuje prawdopodobieństwo, więc po prostu ją ignorujemy (skutecznie ustawiamy ją na 1).p
Możemy to wywnioskować, biorąc log funkcji prawdopodobieństwa i stwierdzając, gdzie jego pochodna wynosi zero:
ln( n C.x px( 1 - p )n - x) =ln( n C.x) + x ln( p ) + ( n - x ) ln( 1 - p )
Weź pochodną wrt i ustaw na :p0
rerepln( n C.x) + x ln( p ) + ( n - x ) ln( 1 - p ) = xp- n - x1 - p= 0
⟹nx= 1p⟹p = xn
Zauważ, że stała wiodąca odpadła z obliczeń MLE.
Mówiąc bardziej filozoficznie, prawdopodobieństwo ma znaczenie jedynie dla wnioskowania do stałej tak że jeśli mamy dwie funkcje prawdopodobieństwa i , to są one wnioskowo równoważne. Nazywa się to prawem prawdopodobieństwa . Dlatego, jeśli porównujemy różne wartości przy użyciu tej samej funkcji prawdopodobieństwa, termin wiodący staje się nieistotny.L 1 = k L 2 pL.1, L2)L.1= k L.2)p
Na poziomie praktycznym wnioskowanie przy użyciu funkcji wiarygodności opiera się na współczynniku wiarygodności, a nie na bezwzględnej wartości prawdopodobieństwa. Wynika to z asymptotycznej teorii ilorazów prawdopodobieństwa (które są asymptotycznie chi-kwadrat - z zastrzeżeniem pewnych warunków prawidłowości, które są często odpowiednie). Preferowane są testy współczynnika wiarygodności ze względu na lemat Neymana-Pearsona . Dlatego, gdy spróbujemy przetestować dwie proste hipotezy, weźmiemy stosunek i wspólny wiodący czynnik zostanie anulowany.
UWAGA: To będzie nie stanie, jeśli zostały porównanie dwóch różnych modeli, powiedzmy dwumianowy i Poissona. W takim przypadku stałe są ważne.
Z powyższych powodów pierwsza (nieistotność znalezienia maksymalizatora L) najbardziej bezpośrednio odpowiada na twoje pytanie.
xi w produkcie odnosi się do każdej indywidualnej próby. Dla każdej pojedynczej próby xi może wynosić 0 lub 1, a n jest zawsze równe 1. Zatem, w sposób trywialny, współczynnik dwumianowy będzie równy 1. Stąd we wzorze produktu dla prawdopodobieństwa iloczyn współczynników dwumianowych wyniesie 1, a zatem we wzorze nie ma nCx. Zrealizowałem to, pracując nad tym krok po kroku :) (Przepraszam za formatowanie, nie przywykłem do odpowiadania na wyrażenia matematyczne w odpowiedziach ... jeszcze :))
źródło